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Suites
Message de bourich62 posté le 28-11-2018 à 14:07:24 (S | E | F)
Nouvel exercice, merci de l'aider

Partie A :
Soit Pn=4^(n)+5
Démontrez que quelque soit n € N*, Pn est un multiple de 3.

Je n'ai aucune idée sur la méthode à utiliser pour démontrer ceux ci, mise à part calculer plusieurs résultats de Pn pour montrer qu'ensuite c'est un multiple de 3, mais je doute vraiment que ce soit la réponse attendue.

Partie B :

Soit Un définit sur N* par :

U1=1
U(n+1)= n/2(n+1)*Un+(3n+6)/2(n+1)

1) Démontrez que quelque soit n € N, on a (Un)<3

Pareil ici j'ai essayé de calculer Un+1-U1 ; où à isoler Un pour trouver qu'il est < à 3, mais je n'arrive pas à trouver de logique pour répondre à cette question.
Je pense qu'il faudrait que j'arrive à définir la suite Un, et ainsi avoir sa raison.

2) étudiez le sens de variation de (Un)

Une fois que j'ai répondu à la question une, je peux étudiez la raison de (Un) pour déterminer son sens de variation.

3) Calculez la limite de (Un)

4) Soit Vn, la suite définie sur N* par Vn=n(3-Un)
a. déterminez la nature de cette suite

La suite (Vn) est une suite géométrique car on multiplie toujours le terme (3-Un) par la raison n. Cette suite a donc pour raison n et pour premier terme U1=1.

b. précisez la raison est calculer V1

La raison de cette suite est n.
V1=1(3-U1)= 1(3-1)=3-1=2.
c. exprimez (Vn) puis (Un) en fonction de n

Vn=n^n*(1-Un)
Un= -Vn/n+3n

d. Calculez la limite de (Un)

Je me suis arrêtée ici car je pense que mes résultats ne sont pas correctes..
Merci de m'aider à avancer car au final je n'ai rien traité de l'exercice et j'aimerai vraiment y arriver...



Réponse : Suites de puente17, postée le 28-11-2018 à 16:08:14 (S | E)
Bonjour,

A/ Faute d'idée au départ c'est toujours bien de vérifier. 6, 9, 21, 69. bon maintenant on peut commencer à chercher .
La divisibilité par 3 et ce 5 à quoi il sert?
Regardons sans le 5 et modulo 3.
P0 - 5 → 1 (3)
P1 - 5 → 1 (3)
4^n → 1^n →1 (et là Archimède dit "eureka", non?)

B/ U1=1
U(n+1)= n/2(n+1)*Un+(3n+6)/2(n+1)

oublions la petite erreur du texte car 0€N et u0 n'est pas défini??? donc il faut montrer que pour n€N* Un < 3
essayez une petite récurrence puisque l'on sait déjà que c'est vrai pour n = 1.
Moi j'ai étudié la fonction f(x) = (3x+6)/(2x+2) et j'ai utilisé le fait que [n/(2n+2)] < 1/2
Je vous laisse poursuivre, ça devrait aboutir.

Attention vous parlez de "raison". Pour ça il faudrait savoir si la suite est arithmétique ou géométrique et là j'ai de gros doutes.

Bon courage.



Réponse : Suites de bourich62, postée le 28-11-2018 à 18:02:51 (S | E)
Bonjour,

alors pour la première question, je ne comprends pas comment vous faite pour avoir
P0-5->1 (3)
P1-5->1 (3)

Moi je trouve que :
P1=9 ou P1-5=4
P0-5=0

Donc je n'arrive toujours pas à démontrer que le résultat est un multiple de 3...

Pour la question 2 :

d'après un cours sur les récurrences je trouve que :
u(n+1)-a*u(n)=0 alors les solutions sont des suites géométriques de raison q de la forme u(n)=q^n u0
pour u(n+1)-a*u(n)=b alors les solutions sont de la forme u(n)=q^(n)u0+b/(1-a)

Donc en appliquant le calcul, j'obtient :
U(n+1)-n/(2(n+1))u(n)=[(3n+6)/(2(n+1))]
U(2)-1/(2(2))u(1)=(3+6)/2(2)
U(2)-1/4*1=9/4
U(2)-1/4=9/4

Donc U(2)=9/4+1/4 soit 10/4 soit 2.5.

Je n'arrive pas à aller plus loin malheureusement...




Réponse : Suites de puente17, postée le 28-11-2018 à 23:14:12 (S | E)
Bonjour,
A/ oui il doit y avoir un petit problème de compréhension dans l'expression écrite je vais la préciser:
P0 = 4^0 +5 = 1 + 5 = 6 et donc P0 - 5 =1 donc P0-5 est congru à 1 modulo 3 (P0 - 5 = 1 +3x0)
de même P1 - 5 = 4^1 = 4 est congru à 1 modulo 3 donc P1-5 est congru à 1 modulo 3 (P1-5 = 1 +3x1)
P2 - 5 = 16 = 1 + 3x5 ...
4 est congru à 1 modulo 3 et donc 4^n est congru a 1^n modulo 3 donc 4^n est congru à 1 modulo 3
on en déduit que pour tout n, 4^n + 5 est congru à 6 modulo 3 et donc Pn est un multiple de 3.

Moi je trouve que :
P1=9 ou P1-5=4
P0-5=0

Moi aussi je trouve P1 = 9 et donc P1 - 5 = 1 + 3x1 ce que moi j'appelle P1 - 5 → 1 (3) c'est à dire que P1 - 5 est un multiple de 3 plus 1.
Pour P0 faites attention que 4^0 = 1 (par définition)

Si cette écriture vous gêne on peut le voir d'une façon un peu différente.
Pn - 5 = 4^n = (3 + 1)^n )= 3^n + C(n,1) 3^(n-1)x1^1 + C(n,2) 3^(n-2)x 1^2+...+1^n et on voit bien que tous les termes sont des multiple de 3 sauf le dernier qui vaut 1
Si on divise Pn-5 par 3 on trouve un reste égal à 1 et donc Pn +5 aura le m^me reste que 1+5 =6 autrement dit Pn divisé par 3 à pour reste zéro donc Pn est divisible par 3.

B/ U1=1
U(n+1)= n/2(n+1)*Un+(3n+6)/2(n+1)


reprenons à zéro ma première méthode me parait un peu compliquée...
calculons A= [n/(2(n+1)]3+ (3n+6)/(2(n+1)). On obtient 3 je vous laisse vérifier et ceci vous apporte un moyen de conclure le raisonnement par récurrence.
En effet U1 = 1 <3
si Un< 3 alors U(n+1) < A et donc U(n+1) < 3



Réponse : Suites de bourich62, postée le 29-11-2018 à 10:52:33 (S | E)
J'ai trouvé mon erreur

Pour moi 4^0=0 et non 1... donc forcément ça n'allait pas dans mes calculs.
J'ai compris pour la première question maintenant merci !

pour la 2)

Je calcule A et je trouve bien 3.
Je suis d'accord pour U1 < 3 car U1=1
Quant on calcule A, on trouve 3. (en remplaçant Un par 3)
Et je n'arrive pas à comprendre la suite
car pour moi Un =3 (dans le calcul de A) du coup pourquoi Un+1 serait < à A ?




Réponse : Suites de bourich62, postée le 29-11-2018 à 11:07:47 (S | E)
Pour étudier le sens de variation de Un, je cherche sa dérivée ?



Réponse : Suites de puente17, postée le 29-11-2018 à 15:28:28 (S | E)
bonjour,

Pour étudier le sens de variation de Un, je cherche sa dérivée ?
Attention on ne peut parler de dériver que sur des fonctions de I sur R avec I un intervalle ou une réunion d'intervalles de R.

Démontrez que quelque soit n € N, on a (Un) < 3.

→ U1 = 1 donc la propriété Un < 3 est vraie pour n = 1
→ Supposons que le propriété soit vraie pour n et montrons qu'elle est vraie aussi pour n+1.
comme U(n+1)= n/2(n+1)*Un+(3n+6)/2(n+1) alors U(n+1) < (n/(2(n+1))*3+(3n+6)/(2(n+1)) = ?
donc U(n+1) < 3

Ce qui permet de conclure que pour tout n € N* Un < 3



Réponse : Suites de bourich62, postée le 29-11-2018 à 19:30:26 (S | E)
D'accord, merci pour le complément d'information

du coup pour étudier le sens de variation de Un, je procède comment ?




Réponse : Suites de puente17, postée le 30-11-2018 à 11:13:39 (S | E)
Bonjour,
Vous avez essayé d'utiliser la définition, en évaluant U(n+1)-Un ? Montrer avec le résultat précédent que cette différence est toujours positive, quelque soit n.




Réponse : Suites de bourich62, postée le 01-12-2018 à 11:26:04 (S | E)
Un+1-Un= n/(2(n+1))*Un+3-Un
Je sais que n/(2(n+1))*Un est < à Un et que Un est < à 3.
Donc (+3-Un)>0. et n/(2(n+1))*Un >0.

Donc le signe de Un est positif, et son sens de variation est strictement croissant.

Il me reste à calculer la limite de Un







Réponse : Suites de bourich62, postée le 01-12-2018 à 11:27:23 (S | E)
Pouvez vous corriger ma deuxième partie d'exercice svp ?



Réponse : Suites de puente17, postée le 01-12-2018 à 16:26:04 (S | E)
Bonjour,

Un+1-Un= n/(2(n+1))*Un+3-Un (pourquoi?)
Je sais que n/(2(n+1))*Un est < à Un et que Un est < à 3. (où est passé le (3n+6)/(2n+2) ?)
Donc (+3-Un)>0. et n/(2(n+1))*Un >0
.Revoyez ces 3 lignes, il y a trop d'erreurs

Donc le signe de Un est positif, et son sens de variation est strictement croissant.

Vérifiez que Un+1 - Un = [n/(2n+2)] x Un +[(3n + 6)/ (2n + 2)] - Un > 0
et en conclure le sens de variation de (Un)



Réponse : Suites de bourich62, postée le 01-12-2018 à 16:38:51 (S | E)
Enfet j'ai calculé Un+1-Un, et j'ai remplacé (3n+6/(2(n+1)) par 3.
donc je trouve :
Un+1-Un=n/(2(n+1))*Un+3
Comme on peut dire que n/(2(n+1)) est < 1, on peut dire que n/(2(n+1))*Un<1*Un et n/(2(n+1))*Un+3<Un+3
Donc Un+1-Un>0
Un est donc strictement croissant

J'espère que c'est ça car je commence à désespérer avec cet exercice.. et je perds le fil...



Réponse : Suites de puente17, postée le 02-12-2018 à 10:48:22 (S | E)
Bonjour,
En fait j'ai calculé Un+1-Un, et j'ai remplacé (3n+6/(2(n+1)) par 3.
et pourquoi faire ça? Les deux ne sont pas égaux.

Un+1 - Un = [n/(2n+2)] x Un +[(3n + 6)/ (2n + 2)] - Un =(n Un + 3n + 6 - 2n Un - 2 Un) / (2n+2)
Un+1 - Un = (-n Un +3n + 6 - 2Un)/ (2n+2)
Le dénominateur est positif et en utilisant le résultat précèdent: Un < 3 on démontre que le numérateur l'est aussi donc Un+1 - Un > 0 pour tout n et donc (Un) est croissante.




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