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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°73217 : Trigonométrie dans le triangle rectangle - cours

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Trigonométrie dans le triangle rectangle - cours


Ce cours vous donnera des notions de trigonométrie: cosinus, sinus et tangente dans un triangle rectangle (à partir du niveau 3°).

Tout d'abord, un petit rappel concernant le triangle rectangle :

I. Vocabulaire

Considérons un triangle rectangle: le plus grand côté est appelé  hypoténuse du triangle: l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.

et considérons dans ce triangle un angle: cet angle est compris entre deux segments:
l'un est l'hypoténuse, l'autre est appelé côté adjacent de l'angle considéré

Le troisième côté est alors appelé côté opposé.

Exemples: La figure ci-dessous contient trois triangles rectangles

  • le triangle AMB rectangle en M, dont l'hypoténuse est le côté [AB]
  • le triangle ADM rectangle en D, dont l'hypoténuse est le côté [AM]
  • le triangle CBM rectangle en C, dont l'hypoténuse est le côté [BM]

Dans le triangle AMB, considérons l'angle noté souvent simplement.

Le segment [AM] est appelé côté adjacent à l'angle ,

le segment [BM] est appelé côté opposé à l'angle
et [AB] est l'hypoténuse.


Retenez bien ces notions, elles vous seront très utiles durant cette leçon.

PETITE AIDE: Repérez tout d'abord l'hypoténuse.

Ensuite, cherchez l'autre côté qui, dans son nom, a la même lettre que l'angle qui nous intéresse: c'est le côté adjacent

II. COSINUS, SINUS ET TANGENTE

Il y a 3 formules à apprendre par coeur.

Ce sont les 3 formules dont vous vous servirez.

REMARQUE: Vous allez avoir besoin de votre calculatrice pour faire les exercices.

1. Les 3 formules

Exemple

Dans le triangle ADM rectangle en D :

AIDE à la mémoire: Vous pouvez retenir : CAH SOH TOA C pour cosinus, A pour adjacent et H pour hypoténuse, etc. En prononçant rapidement 'CAH SOH TOA', on entend 'casse toi'.


2. Déterminer la mesure d'un angle d'un triangle rectangle

remarque : dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°. On en déduit que dans un triangle rectangle, les deux angles qui ne sont pas droits sont complémentaires: leur somme est égale à 90°

Pour déterminer les longueurs d'un côté d'un triangle rectangle, on utilise les fonctions cos-1 , tan-1 et sin-1 de la calculatrice après avoir vérifié que la calculatrice est en mode degrés


Exemple :

On cherche la valeur d'un angle , et on sait que . La calculatrice donne des valeurs approchées de l'angle

.


3. Déterminer la mesure d'un côté

Exemple : AIE est un triangle rectangle en I tel que AI=5 cm et . Déterminer la longueur IE.

Comme , on a
et en multipliant les deux membres de l'égalité par , on obtient
Conclusion: la longueur IE est égale à environ 2 cm





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Exercice 1. Considérons le triangle AEI rectangle en A. Quelle est l'hypoténuse du triangle ?

On donne IE mesure 5 cm, et .
On veut calculer la longueur AE en considérant l'angle . Quelle fonction va-t-on utiliser ?

Parmi les formules données, une seule est exacte. Laquelle?

La longueur AE est égale à environ

L'angle mesure

La longueur AI est égale à environ


Exercice 2. Considérons le triangle BOA rectangle en B. L'angle mesure 30 °, le segment [AO] mesure 10 cm.
Quelle fonction va-t-on utiliser pour calculer BO ?

Parmi les formules données, une seule est exacte. Laquelle?

Le segment [OB] mesure

Parmi les formules données, une seule est exacte. Laquelle?

AB est égal à environ

La longueur du côté [AB] peut aussi être calculé à l'aide du théorème de

La valeur exacte de la longueur AB est

Combien mesure ?









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