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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°99437 : Suites Numériques

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    Suites Numériques


    I)Généralités


    A- Définitions

    Une suite numérique u est une fonction de  dans ,qui, à chaque nombre ,associe un réel noté u(n) ou u: n u(n). Elle peut être définie de deux manières :

    - explicitement, c'est-à-dire que l'on exprime un en fonction de n, pour tout entier n. Exemple : un=3n+5. On peut alors calculer un terme quelconque sans connaître les termes précédents. Exemple : pour n=6, un=3*6 + 5

    - par récurrence, c'est-à-dire que que l'on donne le premier terme de la suite et une relation par récurrence entre un terme et le terme suivant. Exemple : u0=4 et un+1=2un+4.On calcule alors pas à pas les termes u1, u2, u3, u4, ...jusqu'au terme un souhaité.

     

    B- Représentations graphiques

    Prenons la suite un=2n+1. On a alors u0=1, u1=3, u2=5, u3=7, u4=9, u5=11, u6=13, ... On peut représenter cette suite soit sur une droite, soit dans un plan.

    •  Sur une droite, on place les réels un= pour les premières valeurs de n :

    Dans un repère du plan : on place les points An de coordonnées (n;un) pour les premières valeurs de n.


    C- Etude d'une suite numérique 

    Une suite un, définie explicitement ou par récurrence,est dite croissante si et seulement si, pour tout n de , un≤un+1, décroissante si et seulement si, pour tout n de , un≥un+1.

    S'il existe un réel m tel que, pour tout n de , un≥m,alors la suite un est dite minorée par m. Si il existe un réel M tel que, pour tout n de , un≤M, alors la suite uest dite majorée par M. Si la suite un est à la fois minorée et majorée, soit m≤un≤M, elle est alors dite bornée.


    II)Suites arythmétiques et géométriques

    A- Les suites arithmétiques

    Définition: une suite un est dite arithmétique de raison r si pour tout n de , un+1=un+r, soit un=u0+nr. Ainsi, les suites de la forme an+b, ou de constante un+1-un sont aussi des suites arithmétiques. Ces suites sont alors croissantes si r≥0, décroissantes si r≤0. 

                        1+2+3+...+n=    donc la somme des termes de ces suites de premier terme p est  up+up+1+up+2+...+un=


    B- Les suites géométriques

    Définition: une suite un est dite géométrique de raison q si pour tout n de , un+1=q*un,soit un=u0*qn. Ainsi, les suites de la forme a.bn, ou de constante un+1÷un. Ces suites sont alors croissantes si q>1, décroissante si 0

              1+q+q²+...+qn=  donc la somme des termes de ces suites de premier terme p est  up+up+1+up+2+...+un=


    III)Limites d'une suite

    A- Limite finie et infinie

    On dit que la suite un admet pour limite  si tout intervalle ]A;[, A réel, contient tous les termes de un
    à partir d'un certain rang : La suite est dite divergente
    On dit que la suite un admet pour limite  si tout intervalle ];B[, B réel, contient tous les termes de un
    à partir d'un certain rang :La suite est dite divergente 
    On dit que la suiteun admet pour limite  si tout intervalle ouvert contient tous les termes de un 
    à partir d'un certain rang : La suite est dite convergente

    Comportement à l'infinie d'une suite géométrique : la limite dépend de la raison q :

    q

    q≤-1-1q=1

    q>1

    Pas de limite01+

    Remarque : Théorème de convergence : Si un est croissante ET majorée, ou décroissante ET minorée, la suite est alors convergente.

    Attention : cela ne donne pas la limite.

    Remarque : une suite divergent n'admet nécessairement de limite finie/infinie. C'est le cas de la suite un=(-1)n, qui prend alternativement les valeurs -1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite : elle est donc divergente.


    B - Limites usuelles et opérations

    Sommes Produits

                               >0>0<0<000
    '
    '
    +'F.I.
    ×'F.I.

    F.I.


    Inverses Quotients

    ≠0                                                       >0>0<0<00

    '≠0'>0'<0'>0'<00







    0F.I.

    F.I.


    C - Comparaison de limites

    Théorème de comparaison : 1 - Soit un et vn, deux suites définies sur . Si, à partir d'un certain rang n0un≤vn et que 

      2 - Soit un et vn, deux suites définies sur . Si, à partir d'un certain rang n0unvn et que 

    Théorème d'encadrement : Soit unvn et wn, trois suites définies sur . Si, à partir d'un certain rang n0un≤vn≤wn et que 


    Voici tous ce qu'il faut savoir sur les suites numériques (en 1ère et Tle S).

    Les démonstrations n'ont pas été mis du fait que chaque exemple est unique (il peut être aussi bien facile ou compliqué à comprendre), et que mes notes ne me permettent pas de vous donner de bien démonstration. Ainsi vous ''faut-il'' répondre aux questions suivantes pour voir si vous avez bien compris ce cours. Attention : le signe multiplier est représenté par un 'x' !





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    1. La suite définie par u(0)=3 et u(n+1) =6xu(n) est définie

    2. La suite u(n+1) = 3xu(n)+4 est définie

    3. La suite définie par u(n)=3xn+6 est une suite

    4. La suite définie par u(n+1)=u(n)+4 est une suite

    5. La suite définie par u(n+1)=4xu(n) est une suite

    6. La suite définie par u(n)=4x6^(n) est une suite

    7. La suite u(n) est suite arithmétique de raison r=5, donc d'après le cours, u(n) (n')est

    8. La suite u(n) est suite géométrique de raison q=-2, donc d'après le cours, u(n) (n')est

    9. La limite, lorsque n tend vers plus infinie, de 1/n est égale à

    10. La limite, lorsque n tend vers plus infinie, de n² est égale à

    11. La limite de u(n) est égale à L, la limite de v(n) est égale à plus infinie, donc la limite de u(n)+v(n) est égale à

    12. La limite de u(n) est égale à plus infinie, la limite de v(n) est égale à 0, donc la limite de u(n)xv(n) est égale à

    13. La limite de u(n) est égale à L>0, la limite de v(n) est égale à 0 moins, donc la limite de u(n)/v(n) est égale à

    14. La limite de u(n) est égale à O plus, donc la limite de 1/u(n) est égale à

    RELISEZ-VOUS BIEN AVANT DE VALIDER.
    Remarque : ce cours est du niveau de 1ère et Tle S, nouveau programme, donc s'il y a des difficultés, il ne faut pas hésiter à regarder le cours et à demander de l'aide !







    Fin de l'exercice de maths (mathématiques) "Suites Numériques"
    Un exercice de maths gratuit pour apprendre les maths (mathématiques). (tags: arithmetique )
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