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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°45257 : Solutions complexes d'une équation de degré 2 - cours

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    Solutions complexes d'une équation de degré 2 - cours


    I. Une équation de degré 2, d'inconnue z

    s'écrit az²+ bz + c = 0 sous forme développée, où a, b et c sont des nombres connus avec a ≠ 0

    Résoudre dans l'ensemble de nombres complexes une équation d'inconnue z, c'est trouver les solutions complexes, c'est-à-dire les valeurs des complexes z qui rendent l'égalité correcte.

    rappel: i est le nombre complexe dont le carré vaut -1: i² = - 1

    On note, dans tout le cours, l'ensemble des nombres complexes : C.


    II. RÉSOUDRE dans C, l'ÉQUATION de degré 2,

    az²+ bz + c = 0 avec a≠0

    Comme en terminale, on se limite aux cas où a, b et c sont des réels.

    procédure

    On calcule le DISCRIMINANT b²-4ac, noté souvent Δ, puis il suffit de regarder le signe de Δ et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure

    Note: Δ est un réel car a, b et c sont réels.

    Δ = b² - 4ac

    Δ > 0 (son signe est +)

    on peut conclure :

    l'équation a deux solutions réelles

    calcul de ces solutions:

    Δ, positif, est le carré d'un réel, soit Δ=r²


    Les solutions sont:



    Δ = 0

    on peut conclure :

    l'équation a une solution unique réelle, dite solution double

    calcul de cette solution:


    Δ < 0 (son signe est -)

    on peut conclure :

    l'équation a deux solutions complexes et conjuguées

    calcul de ces solutions:

    |Δ|, positif, est le carré d'un nombre réel r, ainsi Δ = (i r)²

    Les solutions sont



    exemple: z² + z + 1 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = - 3 = 3; c'est le carré de

    z² + z + 1 = 0 admet donc deux solutions complexes et conjuguées

    calcul de ces solutions:





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    L'équation x² + 1 = 0 admet pour solutions

    L'équation x² + x - 10 = 0 admet-elle deux solutions non réelles, complexes et conjuguées ?

    L'équation x² + x + 10 = 0 admet-elle deux solutions non réelles, complexes et conjuguées ?

    Le nombre - 100 admet-il deux racines carrées dans C

    - i est-il solution de l'équation z² = 1 ?

    - i est-il solution de ?

    L'équation - 2z² + 4z - 10 = 0 admet pour solutions complexes

    L'équation z² = - 4 admet-elle deux solutions dans C ?

    Est-on obligé de développer (z-10)²+400 pour résoudre l'équation (z-10)²+400=0 dans C ?

    L'équation (z - 10)² + 400 = 0 admet pour solutions complexes









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