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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°111903 : Relation d'équivalence, Relation d'ordre

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    Relation d'équivalence, Relation d'ordre


    RAPPELS :

    (1)  Soit R une relation binaire sur un ensemble non vide E. Soient x,y et z des éléments de E.
    R est une relation d'équivalence sur E si :

    - Elle est réflexive : xRx
    - Elle est symétrique : xRy entraîne yRx
    - Elle est transitive : xRy et yRz entraînent xRz
    La classe d'équivalence suivant R d'un élément x  notée [x], est l'ensemble des éléments y de E tels que xRy.
    Donc, on dira que y est dans [x] <-----> xRy.

    (2)  Soit S une relation binaire sur un ensemble E non vide :
    - S est une relation d'ordre si pour tout x, y, z appartenant à E,
    - S est réflexive : xSx
    - S est antisymétrique : xSy et ySx entraînent x=y
    - S est transitive : xSy et ySz entraînent xSz.
    NB:
    a) Si E est muni d'une relation d'ordre, on dira que E est ordonné.
    b) Si pour tout x,y dans E on a xSy ou ySx, S étant un ordre, on dira que S est un ordre total, et donc que E est totalement ordonné.
    c) Si l'ordre n'est pas total, il est dit partiel. E est alors partiellement ordonné.

     

     

    ENONCÉ :

    Soit E l'ensemble des diviseurs positifs de 60,
    soient x et y des éléments de E,
    soient A et B des parties de E,
    on définit les relations binaires R, S et T sur E par :
    xRy <-----> x divise y
    xSy <-----> x-y multiples de 5
    ATB <-----> A inclus dans B

     

     

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    1. R est-elle une relation d'équivalence ? .

    2. S est-elle une relation d'équivalence ?

    3. T est-elle une relation d'équivalence ?

    4. R est-elle une relation d'ordre ?

    5. S est-elle une relation d'ordre ?

    6. T est-elle une relation d'ordre ?

    7. T est-elle un ordre total ?

    8. T est-elle un ordre partiel ?

    9. A-t-on 6 appartient à [15] suivant S ?

    10. Combien [10] suivant S a-t-elle d'éléments dans E ?









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