Racine carrée : définition et propriétés

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Racine carrée : définition et propriétés - cours

1. Définition
Quelques exemples pour commencer :
$\sqrt{4}$ représente le nombre positif qui a pour carré 4 : ce nombre est $\sqrt{4}$ = 2.
$\sqrt{36}$ = 6.
$\sqrt{49}$ = 7
$\sqrt{5^{2}}$ = 5

$\sqrt{2}$ représente le nombre positif qui a pour carré 2; on ne peut pas écrire ce nombre autrement.
Définition : $\sqrt{a}$ est le nombre positif qui a pour carré a.
a est un carré, donc un nombre positif ; ainsi ' $\sqrt{-5}$ ' n'existe pas.
2. Quelques valeurs exactes à connaître :
a
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
√a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Quelques autres racines carrées exactes :
(0,2)² = 0,04 d'où $\sqrt{0,04}$ = 0,2
(1,2)² = 1,44 d'où $\sqrt{1,44}$ = 1,2
$(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$ d'où $\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
Mais une racine carrée ne peut pas toujours s'écrire sous forme d'un décimal ou d'une fraction.
La seule écriture exacte de la racine carrée de 2 est ' $\sqrt{2}$ '. (On peut en donner des valeurs approchées)
3. Propriétés
Si a est positif et b est positif $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$
Exemple : $\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$
Mais attention : en général $\sqrt{a}+ \sqrt{b}$ N'EST PAS EGAL à $\sqrt{a + b}$
(Se rappeler que $\sqrt{9}$ + $\sqrt{16}$ = 3 + 4 = 7 ; mais $\sqrt{9+16}$ = $\sqrt{25}$ = 5 )
4. Applications : regroupements et simplifications d'écritures :
* on cherche à décomposer le nombre qui est sous le radical en un produit dont l'un des facteurs est un carré.
Exemples : $\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=\sqrt{2^{2} \times 5}=\sqrt{2^{2}} \times \sqrt{5}= 2\sqrt{5}$
$\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=\sqrt{4^{2} \times 2}=\sqrt{4^{2}} \times \sqrt{2}= 4\sqrt{2}$ ;
$\sqrt{108}=\sqrt{36\times 3}=\sqrt{6^{2} \times 3}=\sqrt{6^{2}} \times \sqrt{3}= 6\sqrt{3}$
* dans un produit on cherche à associer les racines carrées d'un même nombre :
Exemples :
$\sqrt{2}\times\sqrt{14}=\sqrt{2}\times\sqrt{2\times 7}=\sqrt{2}\times \sqrt{2} \times \sqrt{7}= (\sqrt{2})^{2} \times \sqrt{7}=2\sqrt{7}$
$\sqrt{3}\times\sqrt{30}\times\sqrt{5}=\sqrt{3}\times\sqrt{3\times 5\times 2}\times\sqrt{5}=\sqrt{3}\times \sqrt{3} \times \sqrt{5}\times \sqrt{5}\times \sqrt{2}= (\sqrt{3})^{2} \times (\sqrt{5})^{2}\times\sqrt{2}= 3\times 5\times\sqrt{2}=15\sqrt{2}$
* on cherche à réduire les sommes en mettant les racines identiques en facteur :
Exemples :
$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\times\sqrt{2}= 8\sqrt{2}$
$4\sqrt{3}- 7\sqrt{3} + \sqrt{3} = (4-7+1)\times\sqrt{3}= -2\sqrt{3}$
$\sqrt{12}+\sqrt{20} + \sqrt{3} - \sqrt{5} = \sqrt{4\times 3}+\sqrt{4\times 5} + \sqrt{3} - \sqrt{5}= 2\sqrt{3}+ 2\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{5} = (2+1)\sqrt{3}+ (2-1)\sqrt{5}= 3\sqrt{3}+ \sqrt{5}$
Ces calculs ont pour but d'obtenir un résultat dont l'écriture est la plus simple possible.
Dans l'exercice le symbole √ est remplacé par rac( )

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$\sqrt {12}$ =
$\sqrt {45}$ =
$\sqrt {98}$ =
$\sqrt {125}$ =
$\sqrt 3 \times \sqrt {21}$ =
$3 \sqrt 7 \times \sqrt {14 }$ =
$\sqrt 3 \times \sqrt { 10} \times \sqrt {15}$ =
$3 \sqrt 5-4 \sqrt 5 -2 \sqrt 5$ =
$4 \sqrt 7-3 \sqrt 2 -5 \sqrt 7 +4 \sqrt 2$ =
$\sqrt {18} + \sqrt{ 12} + \sqrt 3 -5 \sqrt 2$ =

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