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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°108488 : Probabilité-loi binomiale

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    Probabilité-loi binomiale


    Probabilité– loi binomiale

    Épreuve de Bernoulli :

    On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve n'ayant que deux issues : Succès (S) et Échec(E).

    Exemple 1: On lance une pièce (pile ou face).

    La loi de Bernoulli de paramètre p associe à l’issue succès (S) la probabilité p et à l’issue échec (E) la probabilité (1-p).

    Schéma de Bernoulli :

    On appelle schéma de Bernoulli, la répétition n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli.

    Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès à l’issue de schéma de Bernoulli.

    Donc la loi de probabilité de X est la loi Binomiale de paramètres n et p , notée B(n;p).

    Propriété 1:

    Soit B(n ; p) une loi Binomiale, la probabilité d’obtenir k succès (0≤ k ≤n) est donnée par la formule suivante :

    P(X=k . 

    Avec  le coefficient binomial pour k succès.

    Coefficients binomiaux :

    Les coefficients binomiaux indiquent le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès.

     

     

    Exemple 2: On considère une épreuve de Bernoulli, deux issues «succès» S et «échec» E. On répète 3 fois cette épreuve, de manière indépendante, et on s’intéresse au nombre de succès. Donc:

     Nombre de chemins à 3 succès: (SSS) = 1

     Nombre de chemins à 2 succès: (SSE), (SES) et(ESS) = 3

     Nombre de chemins à 1 succès: (SEE), (ESE) et(EES) = 3

     Nombre de chemins à 0 succès: (EEE) = 1

    Propriétés 2:

     = 1 et  =1

     +  = 

     

    On peut utiliser aussi une calculatrice pour calculer les coefficients binomiaux.

     

     

    Propriétés 3:

    Soit B (n ; p) une loi binomiale de paramètres n et p alors:

    Espérance mathématique : E = n.p

     

    Variance :V = n.p.(1-p)

    EXERCICE

    Dans un jeu où on a une chance sur 5 de gagner.

    On joue 5 fois de suite (répétitions identiques et indépendantes). Soit X la variable aléatoire correspondant aux gains.

    On donnera pour le calcul des probabilités et dans chaque cas la valeur approchée à  =0,000001 prés.

    Répondre aux questions suivantes :

     





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    1. X suit une loi binomiale, donner ses paramètres sous forme (n;p) avec p sous sa forme décimale :

    2. Quelle est la probabilité de ne pas gagner ?

    3. Quelle est la probabilité de gagner une fois ?

    4. Quelle est la probabilité de gagner 2 fois ?

    5. Quelle est la probabilité de gagner 3 fois ?

    6. Quelle est la probabilité de gagner 4 fois ?

    7. Quelle est la probabilité de gagner 5 fois ?

    8. Quelle est la probabilité de gagner au moins une fois ?

    9. Quelle est l'espérance E(X) ?

    10. Quelle est la variance V(X) ?









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