Connectez-vous:

Connexion auto
Oubli mot de passe


Nouveau compte
2 millions de comptes créés

100% gratuit !
[Avantages]

  • Accueil
  • Accès rapides
  • Aide/Contact
  • Livre d'or
  • Plan du site
  • Recommander
  • Signaler un bug
  • Faire un lien




  • Publicités :




    Recommandés :
    - Traducteurs gratuits
    - Jeux gratuits
    - Nos autres sites
       

    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°43261 : Polynômes - cours

    > Plus de cours & d'exercices de maths (mathématiques) sur les mêmes thèmes : Calculs littéraux | Fonctions [Autres thèmes]
    > Tests similaires : - Fonction et ensemble de définition - Développement - Identités remarquables : développement et factorisation - Suites arithmétiques - Calcul (5ème) - Factorisation (3ème / 2nde ) - Fonction logarithme népérien - Fonction logarithme népérien (ln)
    > Double-cliquez sur n'importe quel terme pour obtenir une explication...


    Polynômes - cours


    polynômes


    1. Une expression du type

    est appelée polynôme de degré n, lorsque désignent des nombres réels avec


    Exemples : est un polynôme de degré 2; est un polynôme de degré 5



    2. Images

    Calculer , c'est chercher l'image de (-3) par le polynôme ;
    l'image de(-3) est donc 9 + 15 + 6 = 30;
    on peut la noter P(-3); ainsi P(-3)=30


    Plus généralement , l'image d'un nombre a, par un polynôme P(x) s'obtient en remplaçant x par a; on note cette image P(a).

    schéma de Horner

    3. Horner a cherché à minimiser le nombre d'opérations à effectuer pour calculer l'image d'un nombre par un polynôme.


    Par exemple: Pour calculer P(a) lorsque , on doit effectuer 3 additions et 6 multiplications, soit 9 opérations

    En écrivant P(x) sous la forme ((3x + 5)x + 4)x + 8 appelée schéma de Horner, pour calculer P(a), on effectue seulement 6 opérations! soit une économie de 3 opérations!


    Calculons P(2) à l'aide du schéma de Horner:

    , ,

    , ,

    et enfin

    D'où P(2)=60

    Facile, non? et sans calculatrice!

    Disposition pratique des calculs pour le calcul de P(a)

    Dans un tableau, on inscrit les coefficients de P(x)dans 'l'ordre'. Attention : si un coefficient vaut 0, il ne faut pas oublier d'inscrire 0 dans le tableau!)

    Exemple : Calcul de P(2) lorsque

    _on inscrit les coefficients 3 , 5 , 4 et 8 sur la première ligne d'un tableau;

    _on inscrit des + à la deuxième ligne (sauf sous le premier coefficient)

    _on descend le coefficient 3 à la quatrième ligne;

    _on multiplie le coefficient 3 par 2; on met le résultat 6 sous le deuxième coefficient à la troisième ligne;

    _on additionne le second coefficient 5 avec 6 et on met le résultat 11 à la dernière ligne;

    _et on recommence: on multiplie 11 par 2, puis on met le résultat 22 sous le troisième coefficient 4 à la troisième ligne:

    _on additionne le troisième coefficient 4 avec 22 et on met le résultat 26 à la dernière ligne;

    _et on recommence : on multiplie 26 par 2, puis on met le résultat 52 sous le quatrième coefficient 8 à la troisième ligne:

    _on additionne le quatrième coefficient 8 avec 52 et on met le résultat 60 à la dernière ligne;

    _terminé ! on peut dire P(2)=60

    c'est un peu long à expliquer ...

    mais il suffit de faire le tableau suivant !

    3
    5
    4
    8

    +
    +
    +

    6
    22
    52
    3
    11
    26
    60



    4. Factorisation par (x-a) de P(x)-P(a)

    Propriété: on peut écrire P(x)-P(a) sous la forme d'un produit d'un polynôme Q(x) par (x-a)

    Et formidable! Les coefficients du polynôme Q(x) sont les nombres donnés dans le tableau à la dernière ligne (en enlevant le dernier):

    Exemple: avec

    on peut factoriser P(x)-P(2)par (x-2); c'est-à-dire on peut écrire P(x)-P(2)= (x-2)*Q(x)

    le polynôme P a pour degré 3 donc le polynôme Q a pour degré 2 et

    Un exemple avec un coefficient nul

    Soit

    Un calcul de 'tête' nous indique que P(-1)=0

    Le schéma de Horner va donner une factorisation de P(x)

    Les coefficients de P(x) sont    3    -1     0     -1     -5      (il y a 0 car il n'y a pas de terme x²; il y a donc 0x²)

    on calcule P(-1)

    3
    -1
    0
    -1
    -5

    +
    +
    +
    +

    -3
    4
    -4
    5
    3
    -4
    4
    -5
    0

    On peut conclure

    P(-1)=0 et quel que soit x réel,





    Avancé Tweeter Partager
    Exercice de maths (mathématiques) "Polynômes - cours" créé par iza51 avec le générateur de tests - créez votre propre test ! [Plus de cours et d'exercices de iza51]
    Voir les statistiques de réussite de ce test de maths (mathématiques) [Sauvegarder] [Charger] [?]


    1. L'une des expressions n'est pas un polynôme de degré 2
    2. L'image de (-1) par le polynôme est le nombre
    3. Pour le polynôme , le schéma de Horner est
    4. Pour le polynôme , le schéma de Horner est
    5. Le polynôme a pour degré
    6. L'image de (-2) par le polynôme est le nombre
    7. L'image de (-2) par le polynôme de degré 2 est le nombre
    8. On donne le polynôme ; on peut factoriser P(x)-P(-2), on trouve
    9. L'image de (-1) par le polynôme de degré 3 est le nombre
    10. On donne le polynôme ; on peut factoriser P(x)-P(-1) par x+1, on trouve








    Fin de l'exercice de maths (mathématiques) "Polynômes - cours"
    Un exercice de maths gratuit pour apprendre les maths (mathématiques). (tags: calcullitteral fonction )
    Tous les exercices | Plus de cours et d'exercices de maths (mathématiques) sur les mêmes thèmes : Calculs littéraux | Fonctions



    Partager : Facebook / Google+ / Twitter / ... 


    > INDISPENSABLES : TESTEZ VOTRE NIVEAU | NOS MEILLEURES FICHES | Fiches les plus populaires | Aide/Contact

    > COURS ET TESTS : Arithmétique | Avec cours | Calculs | Calculs littéraux | Conversions | Enfants | Equations | Fonctions | Fractions | Géométrie | Jeux | Nombres | Nombres relatifs | Opérations | Plusieurs thèmes | Problèmes | Statistiques | Tests de niveaux

    > INFORMATIONS : - En savoir plus, Aide, Contactez-nous [Conditions d'utilisation] [Conseils de sécurité] Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions) | Contenu des sites déposé chaque semaine chez un huissier de justice. | Mentions légales / Vie privée / Cookies .
    | Cours et exercices de mathématiques 100% gratuits, hors abonnement internet auprès d'un fournisseur d'accès.