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Points et vecteurs du plan (niveau 2nde) - cours

Rappels sur les vecteurs

Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C, on a

Opposé d'un vecteur : est l'opposé du vecteur

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même longueur.

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'il existe un réel k tel que

Théorèmes

• Quatre points forment un parallélogramme ABCD si et seulement si les vecteurs sont EGAUX.
• Trois points A, B, et C sont alignés si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
• Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

Géométrie analytique

Dans toute la suite, on munit le plan d'un repère

Pour tout point M, il existe un unique couple de réels (x ; y) tels que ; on dit alors que (x ; y) sont les coordonnées du point M et aussi les coordonnées du vecteur

Pour obtenir les coordonnées

• d'une somme de vecteurs, on additionne les coordonnées des deux vecteurs
• du produit d'un vecteur par un réel k, on multiplie les coordonnées du vecteur par k

Exemples :

Calcul des coordonnées d'un vecteur :
On donne les points et les vecteurs

On en déduit que

Propriétés :

• Les vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.
  
• Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
  
• Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si le déterminant des deux vecteurs, , est nul.
  

Intermédiaire
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On donnera les coordonnées des vecteurs sous la forme (x;y) sans espace, x et y étant séparés par un point virgule

Dans un repère orthonormé, on donne les points A(-2 ; 1), B(3 ; 5) et C(6 ; 8)

1° Il semble que les points soient alignés, mais le sont-ils vraiment ?

a) Le vecteur a pour coordonnées (6 ; 1)(4 ; 5)(1 ; 6)(- 5 ; - 4)(5 ; 4)

b) Le vecteur a pour coordonnées (- 8 ; - 7)(8 ; 7)(4 ; 9)(7 ; 8)(- 7 ; - 8).
c) Les coordonnées des vecteurs sont-elles proportionnelles ? nonoui
d) Les points A, B et C sont-ils alignés ? ouinon

2° Soit le point D(- 4 ; 0)
a) Les coordonnées du vecteur sont (- 8 ; - 10)(8 ; 10)(10 ; 8)(- 10 ; - 8).
b) Le déterminant des vecteurs est nulnon nul.
et on a =2310,5.
c) Les droites (AB) et (DC) sont-elles parallèles ? nonoui
d) Le quadrilatère ABCD est -il un parallélogramme ? ouinon
e) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? ABCD est un rectangleparallélogrammequadrilatère quelconquetrapèze.