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PGCD et nombres premiers entre eux - cours

Lepgcd de deux entiers naturels est leur plus grand diviseur commun.
Onnote pgcd(a, b) le pgcd des nombres a et b.

Nous allonscalculer pgcd(72, 132) de quatre manières différentes:

Méthoden° 1 :

Recherchonstous les diviseurs des deux nombres.

Lesdiviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36; 72.
En effet : 72 = 1 x 72 = 2 x 36 = 3 x 24 = 4 x 18 = 6 x 12 =8 x 9.

Lesdiviseurs de 132 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 11 ; 12 ; 22 ; 33 ; 44 ;66 ; 132.
En effet : 132 = 1 x 132 = 2 x 66 = 3 x 44 = 4 x 33 = 6x 22 = 11 x 12.

Lesdiviseurs communs (présents dans les deux listes) sont : 1 ; 2; 3 ; 4 ; 6 ; 12.

Leplus grand diviseur commun est donc : 12.

Remarque: les diviseurs communs sontles diviseurs du pgcd.

Méthoden° 2 :

Décomposonsles deux nombres en produits de facteurs premiers.

72= 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2³x 3²

132= 2 x 2 x 3 x 11 = 2² x 3¹ x 11¹

Pourcalculer le pgcd, nous sélectionnons les facteurs communs(présents dans les deux produits) ; s'ils figurent avec desexposants, nous leur attribuons leur plus petit exposant ; ensuitenous effectuons le produit :
pgcd(72, 132) = 2²x 3¹= 4 x 3 = 12

Méthoden° 3 :

Parsoustractions successives.

Principe: si a < b, alors : pgcd(a, b) = pgcd(a, b – a).

Ilest permis de remplacer le plus grand des deux nombres par ladifférence des deux nombres ; ceci ne change pas le pgcd.

pgcd(72, 132) = pgcd (72, 132 - 72) = pgcd (72, 60)
pgcd (72, 60) =pgcd (72 - 60, 60) = pgcd (12, 60)
pgcd (12, 60) = pgcd (12, 60 -12) = pgcd (12, 48)
pgcd (12, 48) = pgcd (12, 48 - 12) = pgcd (12,36)
pgcd (12, 36) = pgcd (12, 36 - 12) = pgcd (12, 24)
pgcd(12, 24) = pgcd (12, 24 - 12) = pgcd (12, 12)

Àpartir de là, la solution est évidente : le pgcd est12.

Méthoden° 4 :

Pardivisions successives (algorithme d' Euclide).

Principe: si a < b, alors : pgcd(a, b) = pgcd(a, b % a).

Àla manière des informaticiens, nous notons b % a le reste dela division euclidienne de b par a.

Ilest permis de remplacer le plus grand des deux nombres par le restede la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit ;ceci ne change pas le pgcd.

132: 72 = 1 reste 60 ; remplaçons donc 132 par 60 :
pgcd (132,72) = pgcd (72, 60)

72: 60 = 1 reste 12 ; remplaçons donc 72 par 12 :
pgcd (72,60) = pgcd (60, 12)

60: 12 = 5 reste 0 ; remplaçons donc 60 par 0 :
pgcd (60, 12)= pgcd (12, 0)

Àpartir de là, la solution est évidente : le pgcd est12.

Si deux nombres entiers n'ont aucun diviseur commun autreque 1, alors leur pgcd est égal à 1 ; on dit que cesnombres sont premiers entre eux.
Quand on divise deux nombresentiers par leur pgcd, on obtient deux nombres premiers entre eux.

Lepgcd est souvent utilisé dans les simplifications de fractions: la meilleure simplification possible consiste à diviser lenumérateur et le dénominateur par leur pgcd ; onobtient directement la fraction irréductible.

Avecl'aide de mon professeur de Mathématiques.

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Quel est le PGCD de 8753 et de 147. pgcd (8753, 147) = 1 2 4 5 6 8 9 10 13 29

Quel est le PGCD de 5283 et de 4095. pgcd (5283, 4095) = 1 2 4 5 6 8 9 10 13 29

Quel est le PGCD de 54685 et de 44685. pgcd (54685, 44685) = 1 2 4 5 6 8 9 10 13 29

Quel est le PGCD de 6824 et de 88. pgcd (6824, 88) = 1 2 4 5 6 8 9 10 13 29

Quel est le PGCD de 261 et de 203. pgcd (261, 203) = 1 2 4 5 6 8 9 10 13 29

Quel est le PGCD de 65 et de 26. pgcd (65, 26) = 1 2 4 5 6 8 9 10 13 29

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Quel est le PGCD de 420 et de 550. pgcd (420, 550) = 1 2 4 5 6 8 9 10 13 29

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Quel est le PGCD de 272 et de 228. pgcd (272, 228) = 1 2 4 5 6 8 9 10 13 29