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PGCD : cours

PGCD

I) 1ére méthode : Listes de diviseurs

On cherche le Pgcd de 60 et 48.

Etape 1 : On donne la liste des diviseurs de 60: 1  2  3  4  5  6  10  12  15  20  30  60

Etape 2 : On donne la liste des diviseurs de 48:  1   2   3   4   6   8   12   16   24   48

Etape 3 : On en déduit que 12 est le Plus Grand Commun diviseur, donc Pgcd(60;48)=12

Cette méthode est souvent trop longue et fastidieuse, c'est pourquoi , on va mettre en place une nouvelle méthode de recherche de Pgcd.

II) 2ème méthode: Méthode des soustractions successives

On cherche le Pgcd de 60 et 48

Etape 1:Soustraire le plus petit des deux nombres au plus grand: 60-48=12

Etape 2 : Ensuite, on prend les deux plus petits nombres ( dans ce cas 48 et 12) et on recommence: 48-12=36

Etape 3 :On continue jusqu'à obtenir un résultat nul : 36-12=24 ==> 24-12=12 ==>12-12=0

Etape 4 :Le Pgcd est le dernier résultat non nul : Donc Pgcd(60;48)=12

III) 3ème méthode: Algorithme d'Euclide

On a déjà vu que pour déterminer un Pgcd on avait le choix entre déterminer TOUS les diviseurs des deux nombres et d'utiliser la méthode des soustractions successives. Nous allons découvrir une nouvelle méthode de recherche du Pgcd.

Rappel :

Méthode :

Etape 1: On fait la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit:

Etape 2 : On recommence avec le diviseur et le reste de la division précédente:

Etape 3 :  On s'arrête lorsque le reste est nul:

Etape 4 : Le Pgcd est le dernier reste non nul: Donc Pgcd(494;143)=13

IV) Application

Avec la méthode de votre choix déterminez les Pgcd suivants:

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Pgcd(295;177)= 1 3 12 15 17 27 59
Pgcd(731;544)= 1 3 12 15 17 27 59
Pgcd(36;24)= 1 3 12 15 17 27 59
Pgcd(81;27)= 1 3 12 15 17 27 59
Pgcd(10;7)= 1 3 12 15 17 27 59
Pgcd(19;129)= 1 3 12 15 17 27 59
Pgcd(15;15)= 1 3 12 15 17 27 59
Pgcd(3;300)= 1 3 12 15 17 27 59