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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°22316 : Nombres relatifs (6)- Multiplication et division - cours

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Nombres relatifs (6)- Multiplication et division - cours


I) La règle :

Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs la règle est la suivante :

La distance à zéro (ou valeur absolue) du résultat s'obtient en multipliant (ou divisant) les distances à zéro des deux nombres.

Le signe du résultat s'obtient grâce à la fameuse 'REGLE DES SIGNES' :

PLUS par PLUS donne PLUS

PLUS par MOINS donne MOINS

MOINS par PLUS donne MOINS

MOINS par MOINS donne PLUS

'par' pour 'multiplié par' ou 'divisé par' : la règle des signes est la même pour les deux opérations.

Exemples :

(+ 3) x (- 5) = (- 15)

(+ 2,5) x (+ 3) = (+ 7,5)

(- 11) x (- 6) = (+ 66)

(- 42) : (+ 7) = (- 6)

(- 21) : (- 6) = (+ 3,5)

II) Mais pourquoi ?

1) La multiplication.

La multiplication des nombres relatifs doit conserver les propriétés connues de la multiplication et des nombres : par exemple :

  • (+ 2) x (+ 3) c'est la même chose que 2 x 3 : donc le résultat est 6, ou (+ 6).
  • (+ 3) x (- 5) c'est la même chose que 3 x (- 5) = (- 5) + (- 5) + (- 5) = (- 15)
  • La multiplication est commutative (on peut changer l'ordre) donc (- 5) x (+ 3) = (- 15) aussi.

Ainsi se justifient les trois premières lignes de la 'règle des signes' pour la multiplication.

  • C'est un peu plus compliqué pour la multiplication de deux nombres négatifs.

Considérons le calcul :

A = (- 5) x [ (+ 3) + (- 3) ]

A = (- 5) x 0 parce que (+ 3) + (- 3) = 0 (somme de deux nombres opposés)

A = 0.

Mais comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition, on a aussi

A = (- 5) x (+ 3) + (- 5) x (- 3)

donc A = (- 15) + (- 5) x (- 3)

Comme on sait que le résultat est A = 0, on en déduit que (- 15) + (- 5) x (- 3) doit être égal à 0.

Pour cela il faut que (- 5) x (- 3) = (+ 15) (l'opposé de (- 15) ! )

Ainsi se justifie la dernière ligne de la règle des signes pour la multiplication.

2) La division.

Une division donne le résultat d'une multiplication à trou :

(+8) : (+2)= ? c'est comme ? x (+2) = (+8) ===>? = (+4), donc (+8) : (+2) = (+4)

(-15) : (+3)= ? c'est comme ? x (+3) = (-15) ===>? = (-5 ), donc (-15) : (+3) = (-5)

(+24) : (-6)= ? c'est comme ? x (-6) = (+24) ===>? = (-4), donc (+24) : (-6) = (-4)

(-14) : (-7)= ? c'est comme ? x (-7) = (-14) ===> ? = (+2), donc (-14) : (-7) = (+2)

La règle de la division découle donc de la règle sur la multiplication...et la 'règle des signes' est la même.

EXERCICE : trouvez le bon résultat ... Attention aux signes !

 





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(- 6) x (- 2) =

(- 3) x (+ 4) =

(- 42) : (- 7) =

(+ 12) : (+ 2) =

(+ 18) : (- 3) =

(+ 1,5) x (- 4) =

(- 7) x (+ 7) =

(- 7)² = (- 7) x (- 7) =

(- 7) x (- 1) =

(- 7) x 0 =









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