Nombres relatifs (6) - Multiplication et division

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Nombres relatifs (6) - Multiplication et division - cours

I) La règle :
Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs la règle est la suivante :
La distance à zéro (ou valeur absolue) du résultat s'obtient en multipliant (ou divisant) les distances à zéro des deux nombres.
Le signe du résultat s'obtient grâce à la fameuse 'REGLE DES SIGNES' :
PLUS par PLUS donne PLUS
PLUS par MOINS donne MOINS
MOINS par PLUS donne MOINS
MOINS par MOINS donne PLUS
'par' pour 'multiplié par' ou 'divisé par' : la règle des signes est la même pour les deux opérations.
Exemples :
(+ 3) x (- 5) = (- 15)
(+ 2,5) x (+ 3) = (+ 7,5)
(- 11) x (- 6) = (+ 66)
(- 42) : (+ 7) = (- 6)
(- 21) : (- 6) = (+ 3,5)
II) Mais pourquoi ?
1) La multiplication.
La multiplication des nombres relatifs doit conserver les propriétés connues de la multiplication et des nombres : par exemple :
(+ 2) x (+ 3) c'est la même chose que 2 x 3 : donc le résultat est 6, ou (+ 6).
(+ 3) x (- 5) c'est la même chose que 3 x (- 5) = (- 5) + (- 5) + (- 5) = (- 15)
La multiplication est commutative (on peut changer l'ordre) donc (- 5) x (+ 3) = (- 15) aussi.
Ainsi se justifient les trois premières lignes de la 'règle des signes' pour la multiplication.
C'est un peu plus compliqué pour la multiplication de deux nombres négatifs.
Considérons le calcul :
A = (- 5) x [ (+ 3) + (- 3) ]
A = (- 5) x 0 parce que (+ 3) + (- 3) = 0 (somme de deux nombres opposés)
A = 0.
Mais comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition, on a aussi
A = (- 5) x (+ 3) + (- 5) x (- 3)
donc A = (- 15) + (- 5) x (- 3)
Comme on sait que le résultat est A = 0, on en déduit que (- 15) + (- 5) x (- 3) doit être égal à 0.
Pour cela il faut que (- 5) x (- 3) = (+ 15) (l'opposé de (- 15) ! )
Ainsi se justifie la dernière ligne de la règle des signes pour la multiplication.
2) La division.
Une division donne le résultat d'une multiplication à trou :
(+8) : (+2)= ? c'est comme ? x (+2) = (+8) ===>? = (+4), donc (+8) : (+2) = (+4)
(-15) : (+3)= ? c'est comme ? x (+3) = (-15) ===>? = (-5 ), donc (-15) : (+3) = (-5)
(+24) : (-6)= ? c'est comme ? x (-6) = (+24) ===>? = (-4), donc (+24) : (-6) = (-4)
(-14) : (-7)= ? c'est comme ? x (-7) = (-14) ===> ? = (+2), donc (-14) : (-7) = (+2)
La règle de la division découle donc de la règle sur la multiplication...et la 'règle des signes' est la même.
EXERCICE : trouvez le bon résultat ... Attention aux signes !

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(- 6) x (- 2) =
(- 3) x (+ 4) =
(- 42) : (- 7) =
(+ 12) : (+ 2) =
(+ 18) : (- 3) =
(+ 1,5) x (- 4) =
(- 7) x (+ 7) =
(- 7)² = (- 7) x (- 7) =
(- 7) x (- 1) =
(- 7) x 0 =

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