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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°24936: Nombres premiers - cours

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    Nombres premiers - cours


    Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

    Comment détecter un nombre premier ?

    I .Un peu d'histoire

    Même si les premières traces de la découverte des nombres premiers remontent à plus de 20 000 ans (Peut-être même avant l'invention de l'alphabet !), les premiers écrits certifiés sur les nombres premiers datent d'environ 3 siècles avant Jésus-Christ. Euclide (-325/-265 ) a essayé de répertorier les nombres premiers.

    On sait qu'il y a une infinité de nombres premiers. Mais ils n'ont pas encore livré tous leurs secrets.


    II. Définition

    Un nombre premier est un nombre entier naturel (non nul) qui admet exactement 2 diviseurs distincts : 1 et lui-même.

    En d'autres termes c'est un nombre entier ('sans virgule'), plus grand que 1, et qui ne peut être divisé que par 1 et par lui-même.

    Exemple : Le nombre 5.

    On ne peut diviser ce nombre que par 1 et 5 (lui-même) si on veut obtenir un nombre entier (c'est-à-dire sans virgule).

    On a : 5/1 = 5 et 5/5 = 1

    Note : la plupart des nombres sont divisibles par d'autres nombres que eux-mêmes et 1 :

    12/3 = 4 ; 22/11 = 2 ; ...

    Mais un nombre premier ne peut être multiple d'autre chose que 1 et lui-même :

    Reprenons 5, si on le divise par 2 on obtient 2,5 ; mais 2,5 n'est pas un nombre entier. Vous pouvez essayer de le diviser par d'autres nombres...5 n'est divisible que par 1 et par 5.


    III. Quelques nombres premiers

    2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,...,73,79,83,...

    Il existe une infinité de nombres premiers. Pour les reconnaître il faut tout d'abord connaître vos critères de divisibilité.

    Petit rappel :

    *Savoir si un nombre est divisible par 2 :

    Regarder le dernier chiffre du nombre : le nombre est divisible par deux si, et seulement s'il s'agit de 0,2,4,6 ou 8 (si le nombre est pair) ; .

    657 326 : le dernier chiffre est 6, le nombre est donc divisible par 2.

    254 489 : le dernier chiffre est 9, le nombre n'est donc pas divisible par deux.

    * Savoir si un nombre est divisible par 3 :

    Calculer la somme des chiffres du nombre, le nombre est divisible par 3 si, et seulement si cette somme est divisible par 3

    111 111 111 : la somme est 9, et 9 est divisible par 3 (9/3 = 3), le nombre est donc divisible par 3

    112 111 111 : la somme est 10, et 10 n'est pas divisible par 3, le nombre n'est donc pas divisible par 3.

    * Savoir si un nombre est divisible par 4 :

    le nombre est divisible par 4 si, et seulement si, le nombre formé par les deux derniers chiffres est lui-même divisible par 4.

    84 312 ==> 12 est divisible par 4 (12/4 = 3), 84 312 est donc divisible par 4.

    4 882 ==> 82 n'est pas divisible par 4, 4 882 n'est donc pas divisible par 4.

    *Savoir si un nombre est divisible par 5 :

    Regarder le dernier chiffre, le nombre est divisible par 5 si, et seulement s'il s'agit de 0 ou 5

    4 895 : le dernier chiffre est 5, le nombre est donc divisible par 5.

    78 524 : le dernier chiffre est 4, le nombre n'est donc pas divisible par 5.


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