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Nombres premiers - Décomposition en produit - cours

Rappel sur les nombres premiers :

Les nombres premiers sont des nombres qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes.

Il y a une infinité de nombres premiers. Jusqu'à 50, ce sont :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Remarques :

1) Il n'y a pas de nombre pair (hormis 2) puisque tous les nombres pairs sont divisibles par 2.

2) Il n'y a pas de nombre se terminant par 0 ou par 5 (hormis 5) car il serait divisible par 5.

Décomposition en nombres premiers :

Pour décomposer un nombre en produits de nombres premiers, il faut trouver tous les nombres premiers qui divisent ce nombre. Pratiquement on part du plus petit (2) et on cherche les différents diviseurs jusqu'à obtenir 1.

Exemple : décomposons 20 en nombres premiers

20 | 2          20 est pair, donc divisible par 2. Le résultat de la division est 10

10 | 2          10 est pair, donc divisible par 2. Le résultat de la division est 5   

5   | 5          5 est un nombre premier.

1                 La décomposition est finie car le résultat est 1.

On écrit alors : 20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5

Autre exemple : décomposons 462 en nombres premiers

462 | 2          462 est pair

231 | 3          231 est divisible par 3 car 2+3+1 = 6 est divisible par 3

77  | 7

11  | 11

1

On écrit : 462 = 2 x 3 x 7 x 11

A vous d'essayer !

Intermédiaire
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12 = 2 x 2 x 2 x7 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 2 x 5 x 13 3 x 11 3 x 13 3 x 3 x 3 x 5 3 x 5 x 17 3² x 5² 5 x 7
18 = 2 x 2 x 2 x7 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 2 x 5 x 13 3 x 11 3 x 13 3 x 3 x 3 x 5 3 x 5 x 17 3² x 5² 5 x 7
130 = 2 x 2 x 2 x7 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 2 x 5 x 13 3 x 11 3 x 13 3 x 3 x 3 x 5 3 x 5 x 17 3² x 5² 5 x 7
56 = 2 x 2 x 2 x7 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 2 x 5 x 13 3 x 11 3 x 13 3 x 3 x 3 x 5 3 x 5 x 17 3² x 5² 5 x 7
135 = 2 x 2 x 2 x7 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 2 x 5 x 13 3 x 11 3 x 13 3 x 3 x 3 x 5 3 x 5 x 17 3² x 5² 5 x 7
225 = 2 x 2 x 2 x7 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 2 x 5 x 13 3 x 11 3 x 13 3 x 3 x 3 x 5 3 x 5 x 17 3² x 5² 5 x 7
33 = 2 x 2 x 2 x7 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 2 x 5 x 13 3 x 11 3 x 13 3 x 3 x 3 x 5 3 x 5 x 17 3² x 5² 5 x 7
255 = 2 x 2 x 2 x7 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 2 x 5 x 13 3 x 11 3 x 13 3 x 3 x 3 x 5 3 x 5 x 17 3² x 5² 5 x 7
35 = 2 x 2 x 2 x7 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 2 x 5 x 13 3 x 11 3 x 13 3 x 3 x 3 x 5 3 x 5 x 17 3² x 5² 5 x 7
39 = 2 x 2 x 2 x7 2 x 2 x 3 2 x 3 x 3 2 x 5 x 13 3 x 11 3 x 13 3 x 3 x 3 x 5 3 x 5 x 17 3² x 5² 5 x 7