Connectez-vous:

Connexion auto
Oubli mot de passe


Nouveau compte
2 millions de comptes créés

100% gratuit !
[Avantages]

  • Accueil
  • Accès rapides
  • Aide/Contact
  • Livre d'or
  • Plan du site
  • Recommander
  • Signaler un bug
  • Faire un lien




  • Publicités :




    Recommandés :
    - Traducteurs gratuits
    - Jeux gratuits
    - Nos autres sites
       

    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°96903 : Nombres Complexes

    > Plus de cours & d'exercices de maths (mathématiques) sur les mêmes thèmes : Géométrie | Nombres [Autres thèmes]
    > Tests similaires : - Test de niveau(2): Nombres décimaux (CM2/6ème) - Bilan: Géométrie CM2-6ème - Bilan1 CP/CE1: Nombres de 1 à 20 - Test de niveau (4)-Géométrie (CM2/6ème) - Test de niveau (2)-Opérations/Calcul(Fin de cycle 2 des apprentissages fondamentaux) - Nombres : Chiffres romains - Test de niveau (1)- (Fin de cycle 2 des apprentissages fondamentaux) - Test de niveau(1): Numération (CM2)
    > Double-cliquez sur n'importe quel terme pour obtenir une explication...


    Nombres Complexes


    1- Introduction:
    Le carré d'un réel est toujours positif ou nul.

    On admettra alors l'existence d'un certain élément non nul qu'on notera i vérifiant: i²=-1 et d'un ensemble qui contient R et des éléments non réels, appelé ensemble des nombres complexes que l'on note C. 

    Chaque élément z de cet ensemble C s'écrit d'une manière unique sous la forme z=x+iy avec x et y deux réels.

    On appelle x la partie réelle de z noté Re(z) et y la partie imaginaire de z noté Im(z).

    Toutes les propriétés de l'addition ainsi que celles de la multiplication restent valides dans C. Mais attention  il n'y a pas de relation d'ordre dans C ( on ne peut pas dire qu'un certain élément de C est plus grand ou plus petit qu'un autre).

     Représentation géométrique:

    Tout nombre complexe possède une représentation géométrique unique dans le plan complexe, ce plan est muni d'un repère orthonormé. Soit z= a+ib avec a et b deux réels quelconque et M le représentant de z dans le plan complexe alors le point M a pour coordonnées (a,b).
    z est appelé affixe du point M.

    On définit alors le vecteur  d'affixe Z

    2-Conjugaison:

    Soit z un élément de C, on sait qu'il existe x et y de R tels que z=x+iy. On appelle conjugué de z le complexe 

      Propriétés:


    • le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués
    •  si et seulement si z est un réel
    • si et seulement si z est imaginaire pur

    ( un imaginaire pur est un complexe dont sa partie réelle est nulle)

     Interprétation géométrique:

     Soit z=x+iy

     Soit le point M' le représentant de le conjugué de z de représentant le point M dans un plan complexe alors M' sera le symétrique de M par rapport à l'axe réel ( l'axe des abscisses). On peut aussi définir M' comme étant le point de coordonnées (x,-y).

    3- Module:

    Le module d'un complexe z=x+iy est un réel positif noté |z| et défini par la relation |z|=|x+iy|=√(x²+y²).

     Propriétés:


    • |z|=|z|
    • |z|=0 <=> z=0
    • |z×z'|=|z|×|z'|
    • |z^n|=|z|^n
    • le produit de z par son conjugué est égal à |z|²
    • |z/z'|=|z|/|z'|
    • |z+z'|≤|z|+|z'|

     Interprétation géométrique:

    Soit z un nombre complexe et M le point du plan complexe représentant z alors |z| est la distance entre le point O (origine du repère)et le point M. Autrement dit, |z| est la norme du vecteur .


    4- Forme trigonométrique et argument d'un nombre complexe:

    On sait que tout nombre complexe possède une unique représentation dite algébrique sous la forme z=x+iy, ce même z peut s'écrire également sous forme appelée forme trigonométrique définie par la relation z= |z| [ cos(φ) +i sin(φ)].

    On appelle φ argument de z noté Arg(z).
    Il est à noter qu'un réel non nul na pour argument 0 et que 0 n'a pas d'argument.


     Propriétés:


    • arg(z)≡0[2∏] <=> z est un réel positif non nul
    • arg(z)≡0[∏] <=> z est un réel non nul
    • arg(z)≡∏/2[∏] <=> z est imaginaire pur non nul
    • arg(z)≡-arg(z)[2∏]
    • arg(z×z')≡arg(z)+arg(z') [2∏]
    • arg(z/z')≡arg(z)-arg(z')[2∏]


     Interprétation géométrique:

    Soit z un nombre complexe et M le point du plan complexe représentant z, l'argument de z est une mesure en radians de l'angle orienté vecteur(OI), vecteur (OM)





    Avancé Tweeter Partager
    Exercice de maths (mathématiques) "Nombres Complexes" créé par anonyme avec le générateur de tests - créez votre propre test !
    Voir les statistiques de réussite de ce test de maths (mathématiques) [Sauvegarder] [Charger] [?]


    Soit le nombre complexe z=[(1+racine(3))+i (1-racine(3))] / (1-i), sa forme algébrique la plus simple est .
    Son module est .
    Sa forme trigonométrique est .
    Un de ses arguments est .
    Son conjugué est .
    Le module de son conjugué est .
    La forme trigonométrique de son conjugué est .
    L'argument de son conjugué est .
    On fait la représentation de z, de son conjugué et de z'=-2 racine(3) respectivement par les points M, M1 et A dans un repère orthonormé: l'affixe du vecteur est .
    L'affixe du vecteur est .
    Soit D le point tel que AMDM1 soit un parallélogramme: l'affixe du vecteur est .
    L'affixe de D noté z'' est alors .
    z'' est un nombre .
    L'argument de z'' est .
    D est situé sur .








    Fin de l'exercice de maths (mathématiques) "Nombres Complexes"
    Un exercice de maths gratuit pour apprendre les maths (mathématiques). (tags: geometrie nombre )
    Tous les exercices | Plus de cours et d'exercices de maths (mathématiques) sur les mêmes thèmes : Géométrie | Nombres



    Partager : Facebook / Google+ / Twitter / ... 


    > INDISPENSABLES : TESTEZ VOTRE NIVEAU | NOS MEILLEURES FICHES | Fiches les plus populaires | Aide/Contact

    > COURS ET TESTS : Arithmétique | Avec cours | Calculs | Calculs littéraux | Conversions | Enfants | Equations | Fonctions | Fractions | Géométrie | Jeux | Nombres | Nombres relatifs | Opérations | Plusieurs thèmes | Problèmes | Statistiques | Tests de niveaux

    > INFORMATIONS : - En savoir plus, Aide, Contactez-nous [Conditions d'utilisation] [Conseils de sécurité] Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions) | Contenu des sites déposé chaque semaine chez un huissier de justice. | Mentions légales / Vie privée / Cookies .
    | Cours et exercices de mathématiques 100% gratuits, hors abonnement internet auprès d'un fournisseur d'accès.