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Module et argument

RAPPELS (Module et Argument d'un Nombre Complexe)

1-MODULE

Dans le plan complexe rapporté au repère (O;u,v), on désigne par M le nombre complexe d'affixe z.  On note M(z) le point image du nombre complexe z dans le repère. 

On note rac(a) la racine carrée du nombre positif a.

Le module de z=x+iy se note |z|=rac(x²+y²). le module de z désigne la distance OM.

Exemple: Pour z=6+8i, on a |z|=rac(6²+8²)=rac(36+64)=rac(100)=10.

Propriétés:  Soient  z et z' deux nombres complexes. Soit n un entier naturel.

On a les propriétés suivantes |z^n|=|z|^n; |zz'|=|z||z'|; |z/z'|=|z|/|z'| si z' est non nul.

2-ARGUMENT

L'argument d'un nombre complexe z non nul, est noté arg(z). 

Si M a pour affixe z, arg(z) désigne l'angle orienté (u,OM).

En posant q=arg(z), où z=x+iy, on a: cos(q)=x/|z| et sin(q)=y/|z|.

Propriétés: Soient z et z' des complexes non nuls. Soit n un entier naturel.

On a: arg(z/z')=arg(z)-arg(z') modulo 2pi; arg(z^n)=narg(z) modulo 2pi; arg(zz')=arg(z)+arg(z') modulo 2pi.

NB, les arguments demandés sont ceux qui sont dans ]-pi;pi]

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1. Le module du complexe z=40+40i est

2. L'entier y= est tel que le module du complexe z=105+yi soit 137.

3. Soient z=-1+i et z'=-4i, alors le module de zz' vaut

4. En reprenant les nombres complexes de la question 3 ci-dessus, on a |z'/z|=

5. arg(-4i)=

6. arg(-1+i)=

7. En reprenant les valeurs de la question 3, on a arg(zz')=

8. En reprenant les valeurs de la question 3, on a arg(z/z')=

9. En reprenant les valeurs de la question 3, on a arg[(z³)(z'²)]=

10. Sous forme algébrique, on a (z^4)(z'³)=