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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°48843 : Logarithmes - cours

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    Logarithmes - cours


    I. Historique
    (pour comprendre les propriétés algébriques des logarithmes)

    Avant l'invention des calculateurs (ordinateurs, calculatrices, ...) les mathématiciens ont cherché à simplifier les calculs à effectuer

    1) Durant l'Antiquité (IIIème siècle avant J.C.), Archimède avait remarqué que pour multiplier certains nombres, il suffisait de savoir additionner! et qu'il était plus facile d'effectuer des additions plutôt que des multiplications!

    Exemple utilisant les puissances de 2 (avec des notations modernes)

    exposant n

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    nombre

    1

    2

    4

    8

    16

    32

    64

    128

    256

    512

    1024

    Ainsi pour multiplier 16 par 64, on ajoute 4 et 6, on obtient 10 et on cherche dans le tableau le nombre correspondant à n=10, on obtient 1 024

    On conclut: 16*64=1 024 car

    pour multiplier 16 par 64, on a ajouté les exposants 4 et 6!


    L'exposant n de est appelé logarithme à base 2 de X

    équivaut à

    Ainsi par exemple, , , , et , ...


    2) John Napier (ou Neper), baron écossais (1550-1617), a repris et étendu l'idée d'Archimède et a mis au point une méthode générale qui permet d'effectuer

    -des additions à la place de multiplications

    -des soustractions à la place de divisions

    -des divisions par 2 à la place d'extractions de racines carrées

    etc.

    Neper, avec son ami anglais Henry Briggs, a construit les premières tables de logarithmes décimaux à 8 décimales


    Si X est égal à une puissance de 10, , alors l'exposant Y de 10 est appelé logarithme décimal Y du nombre X

    Ainsi par exemple, , et

    exemple : ici, on utilise les puissances de 10

    et : le logarithme du produit est bien la somme des logarithmes.


    On peut définir le logarithme à base a, où a est un nombre strictement supérieur à 1:

    si , alors = logarithme à base a de X

    Dans ce cas, on utilise les puissances de a.

    D'après les règles sur les exposants, pour multiplier deux puissances de a, on ajoute les exposants: , l'exposant de a (ou le logarithme) du produit est bien égal à la somme des exposants (ou des logarithmes)


    II. Le logarithme népérien

    1° Aires sous l'hyperbole

    Ci-dessus la courbe de la fonction inverse sur l'intervalle ]0; +∞[; il existe un nombre noté e tel que l'AIRE de la partie située entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites 'verticales' passant par I(1;0) et A(e;0), SOIT ÉGALE à 1, l'unité d'aire étant celle du rectangle de côté 1 dans le repère choisi

    A(e;0), B(e2;0) et C(e3;0)

    Les aires des trois parties, celle où x varie entre 1 et e, celle où x varie entre e et et celle où x varie entre et , sont toutes les trois égales à 1


    2° Le logarithme népérien

    Le logarithme népérien est le logarithme de base e, où e est le nombre irrationnel défini ci-dessus dont une valeur approchée est 2,71828; notation:


    ainsi, , et pour tout x réel.


    Des tables de logarithmes ont alors été utilisées pour effectuer plus facilement des multiplications, des divisions etc. jusqu'au début des années 1980!

    Pour calculer un produit , dans la table de logarithmes népériens, les ingénieurs, les élèves, etc. cherchaient et qu'ils additionnaient pour obtenir le résultat D, puis ils cherchaient C tel que et pouvaient conclure AB=C

    Aujourd'hui, les tables de logarithmes et les règles à calcul ont été remplacées par les calculatrices; pourtant les logarithmes sont toujours «sur le devant de la scène mathématique» (algorithmes de compression de données, etc. )





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    Attention ln(X) existe si et seulement si X>0

    Valeurs à connaître: , et

    propriétés algébriques: Pour tous X>0, Y>0 et y réel, on a


    =
    2° Exprimer en fonction de les nombres suivants:
    a) =
    b) =

    3° Exprimer sous forme , où a est un nombre à déterminer, les nombres suivants:
    a) =
    b) =

    4° Pour résoudre une équation (E) comportant des logarithmes, on peut utiliser l'implication:

    'Si , alors A=B'

    il reste alors à résoudre l'équation obtenue et pour finir, étudier la réciproque, c'est-à-dire regarder si chacune des solutions obtenues est ou n'est pas solution de (E).

    Si x est solution de
    alors x est solution de
    alors x est solution de
    alors x est solution de
    alors ou ou
    L'équation admet solution(s)








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