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Limites+ cours

f est une fonction définie sur un intervalle I de

On note (Cf) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère

On suppose que la courbe de f est tracée d'un trait continue; on dit alors que la fonction f est continue sur I

Soit a∈I

Pour exprimer le fait que f est continue en a, on dit ' Quand x tend vers a, f(x) s'approche de f(a) aussi près que l'on veut' et on écrit :

Exemple 1 : Toute fonction affine, représentée graphiquement par une droite (non parallèle à l'axe des ordonnées), est continue sur

Ci-dessous , on a tracé la courbe représentative de quelques fonctions affines à l'aide du logiciel sinequanon

Exemple 2 : La fonction carrée, x → x², est continue sur

x → x² est continue en a; on écrit

D'autre part, x² est aussi grand que l'on veut pourvu que |x| soit suffisamment grand

En effet, x² > 10 000, dès que x > 100 ou bien dès que x < -100

On écrit:

Exemple 3 : La fonction inverse, x → 1/x, est continue sur]-∞; 0[ et sur ]0; +∞[

Si a≠0, alors x → 1/x est continue en a; on écrit

D'autre part, 1/x est aussi grand que l'on veut pourvu que x soit positif et suffisamment proche de 0

et avec x < 0, |1/x| est aussi grand que l'on veut pourvu que x soit négatif et suffisamment proche de 0

En effet, |1/x |> 10 000 et x<0 , dès que -0.0001

On écrit:

Exemple 4 : La fonction racine carrée, x → √x, est continue sur [0; +∞[

Ci-dessous , on a tracé la courbe représentative de la fonction carrée, appelée parabole (en rose), celle de la fonction inverse, appelée hyperbole (en bleu roi) et celle de la fonction racine carrée (en bleu fluo) à l'aide du logiciel de géométrie Sinequanon

2. Limites et opérations

Si elle existe, la limite d'une somme est la somme des limites

exemple :

autre exemple : car

Exception: On ne peut rien dire sur la limite d'une somme de limites comme '+∞-∞'

Si elle existe, la limite d'un produit est le produit des limites

exemple :

autreexemple : car

Exception: On ne peut rien dire sur la limite d'un produit de limites comme '∞ × 0'

Si elle existent, la limite d'un quotient est le quotient des limites

exemple :

autre exemple :

Exception: On ne peut rien dire sur la limite d'un quotient de limites comme '∞ / ∞' ou '0 / 0'

Propriétés: Toute fonction polynôme est continue sur

Tout quotient de fonctions polynômes est continue sur son ensemble de définition

Limites à l'infini: La limite dun polynôme quand x tend vers l'infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré

La limite d'un quotient de polynômes est égal à la limite du rapport de ses termes de plus haut degré

Test :
Ecrire +inf à la place de +∞ et -inf à la place de -∞
Pour une limite égale à 0, on ne cherchera pas à préciser le signe, on écrira simplement 0

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