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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°35620: Identités remarquables avec le Triangle de Pascal
Identités remarquables avec le Triangle de PascalJe suis un 'fainéant' des mathématiques. Un professeur agacé par mon manque de sérieux dans l'apprentissage « par cœur » des identités remarquables m'a un jour confié un truc. Je n'ai pas eu souvent l'opportunité d'utiliser les identités remarquables depuis ces 25 dernières années. Mais en aidant mon fils dernièrement je me suis aperçu que je savais encore « retrouver » quelques identités remarquables. Tout d'abord un petit énième rappel sur les identités remarquables sur lesquelles je vais concentrer mes efforts. (a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab + b² et pour ceux qui aiment les cubes... (a+b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3 (a-b)3 = a - 3a²b + 3ab² - b3 Tout d'abord, le triangle de Pascal. Il est facile de créer un triangle de Pascal en additionnant un nombre avec son voisin de droite et en reportant le total sous ledit voisin... On commence à 1 et on continue. Oui je sais un exemple sera plus clair : A+B=C A B C ou 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ........ Le principe est simple : le triangle de Pascal vous donne les facteurs des termes des identités remarquables à partir de la puissance 0. La première ligne correspond à la puissance 0, la deuxième à la puissance 1... Exemples : Pour le carré ou puissance 2 prendre la troisième ligne : Soit 1,2,1 D'où (a+b)² = 1a² + 2ab + 1ab² Pour le cube ou puissance 3 prendre la quatrième ligne... et ainsi de suite. Soit 1,3,3,1 D'où (a+b)3 = 1a3 + 3a²b + 3ab² + 1b3
Là encore très simple. La somme des puissances de chaque terme est égale à la puissance de l'identité remarquable cherchée. On débute avec tout l'exposant sur a et 0 sur b ; puis à chaque terme on diminue l'exposant de a de 1 et on augmente celui de b de 1. (a+b)x = axb0 + (...)ax-1b1 + (...)ax-2b2 + (...)ax-3b3 + (...)ax-4b4 +....jusqu'a ce que x = 0 Et n'oublions pas que a0 = b0 = 1 (si a et b ne sont pas nuls) Ainsi : (a+b)² = a²b0 + 2a1b1 + a0b² (a+b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3 a1b2 + a0b3 Bon il ne reste plus qu'à traiter les (a-b)x.
Ainsi , par exemple : (a-b)3 = a3b0 - 3a2b1 + 3 a1b2 - a0b3 Ouf tout est dit. Un peu compliqué ? Essayez donc de former (a-b)6.
D'où (a-b)6 = 1a6b0 - 6a5b1 + 15a4b2 - 20a3b3 + 15a2b4 - 6a1b5 + 1a0b6 = a6 - 6a5b + 15a4b2 - 20a3b3 + 15a2b4 - 6ab5 + b6
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