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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°48526 : Identités, factorisation, développement - cours

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    Identités, factorisation, développement - cours


    Dans tout ce qui suit, a, b, c et d désignent des nombres.

    1° Premières identités

    La multiplication est commutative: a*b=b*a

    La multiplication est distributive par rapport à l'addition: a*(b+c)=a*b+a*c

    On en déduit que l'on a aussi (b+c)*a=a*b+a*c

    On peut aussi écrire les formules sans indiquer les symboles de multiplication: ab=ba et a(b+c)=ab+ac

    2° Interprétation par des aires de rectangles

    Dans le cas où a, b et c sont des nombres positifs désignant des longueurs de segments, on peut interpréter ces formules par des aires de rectangles :

    a) L'aire du rectangle de côtés a et b est a*b; l'aire du rectangle de côtés b et a est b*a. Ainsi a*b=b*a

    b) Ci-dessous, IGLK est un rectangle et on pose a=GI=HJ=LK, b=GH=IJ et c=HL=JK. Ainsi GL=IK=b+c

    L'aire du rectangle GHJI de côtés a et b est a*b, l'aire du rectangle HLKJ de côtés a et c est a*c.

    L'aire du rectangle GLKI de côtés a et (b+c) est a*(b+c). Ainsi a(b+c)=ab+ac


    3° DÉVELOPPEMENT DU CARRÉ (a+b)²

    (a+b)²=(a+b)(a+b)=(a+b)*a + (a+b)*b puis on continue à développer
    (a+b)²=a*a + b*a + a*b + b*b

    et comme la multiplication est commutative: a*b=b*a et alors +b*a+a*b=2ab et comme a*a=a² et b*b=b², on a donc:
    (a+b)²=a²+2ab+b²

    Interprétation par des aires : Ci dessous ABCD, HICK et AJHG sont des carrés et on pose AJ=AG=a et HI=HK=b. Ainsi AB=AD=a+b

    Le carré AJHG a pour aire , le carré HICK a pour aire et les rectangles DGHK et HJBI ont pour aire le produit ab.

    L'aire du grand carré ABCD est égale au carré de son côté, et elle est aussi égale à la somme des aires des deux carrés et des deux rectangles;

    donc (a+b)²=+2ab+

    4° DÉVELOPPEMENT DU CARRÉ (a-b)²

    (a-b)²=(a+(-b))²=a²+2a(-b)+(-b)²=a²-2ab+b² d'après la règle des signes;

    (a-b)²=a²-2ab+b²

    5° DÉVELOPPEMENT DU PRODUIT (a+b)(a-b)
    (a-b)(a+b)=(a-b)*a + (a-b)*b puis on continue à développer
    (a+b)(a-b)=a*a - b*a + a*b - b*b

    et comme la multiplication est commutative: a*b=b*a et alors -b*a+a*b=0 et comme a*a=a² et b*b=b², on a donc:
    (a+b)(a-b)=a²-b²

    6° FACTORISATION

    A et B désignent deux nombres; si A=B, alors B=A

    Ainsi, on peut utiliser chacune des formules 'dans l'autre sens'; on dit alors que l'on factorise, puisque l'on transforme une somme (ou différence) en produit de facteurs.

    Exemples de factorisations :

    ab+ac-ad= a(b+c - d)

    a²+2ab+b²=(a+b)²

    a²-2ab+b²=(a-b)²

    a²-b²=(a+b)(a-b)





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    1° Développer les expressions
    a) =
    b) =
    c) =

    2° Factoriser les expressions
    a) =
    b) =
    c) = (note: -2x est un facteur commun à chaque terme de la somme; commencer par le mettre en facteur!)







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