Identités, factorisation, développement - cours

Dans tout ce qui suit, a, b, c et d désignent des nombres.

1° Premières identités

La multiplication est commutative: a*b=b*a

La multiplication est distributive par rapport à l'addition: a*(b+c)=a*b+a*c

On en déduit que l'on a aussi (b+c)*a=a*b+a*c

On peut aussi écrire les formules sans indiquer les symboles de multiplication: ab=ba et a(b+c)=ab+ac

2° Interprétation par des aires de rectangles

Dans le cas où a, b et c sont des nombres positifs désignant des longueurs de segments, on peut interpréter ces formules par des aires de rectangles :

a) L'aire du rectangle de côtés a et b est a*b; l'aire du rectangle de côtés b et a est b*a. Ainsi a*b=b*a

b) Ci-dessous, IGLK est un rectangle et on pose a=GI=HJ=LK, b=GH=IJ et c=HL=JK. Ainsi GL=IK=b+c

L'aire du rectangle GHJI de côtés a et b est a*b, l'aire du rectangle HLKJ de côtés a et c est a*c.

L'aire du rectangle GLKI de côtés a et (b+c) est a*(b+c). Ainsi a(b+c)=ab+ac


3° DÉVELOPPEMENT DU CARRÉ (a+b)²

(a+b)²=(a+b)(a+b)=(a+b)*a + (a+b)*b puis on continue à développer
(a+b)²=a*a + b*a + a*b + b*b

et comme la multiplication est commutative: a*b=b*a et alors +b*a+a*b=2ab et comme a*a=a² et b*b=b², on a donc:
(a+b)²=a²+2ab+b²

Interprétation par des aires : Ci dessous ABCD, HICK et AJHG sont des carrés et on pose AJ=AG=a et HI=HK=b. Ainsi AB=AD=a+b

Le carré AJHG a pour aire a², le carré HICK a pour aire b² et les rectangles DGHK et HJBI ont pour aire le produit ab.

L'aire du grand carré ABCD est égale au carré de son côté, et elle est aussi égale à la somme des aires des deux carrés et des deux rectangles;

donc (a+b)²=a²+2ab+b²

4° DÉVELOPPEMENT DU CARRÉ (a-b)²

(a-b)²=(a+(-b))²=a²+2a(-b)+(-b)²=a²-2ab+b² d'après la règle des signes;

(a-b)²=a²-2ab+b²

5° DÉVELOPPEMENT DU PRODUIT (a+b)(a-b)
(a-b)(a+b)=(a-b)*a + (a-b)*b puis on continue à développer
(a+b)(a-b)=a*a - b*a + a*b - b*b

et comme la multiplication est commutative: a*b=b*a et alors -b*a+a*b=0 et comme a*a=a² et b*b=b², on a donc:
(a+b)(a-b)=a²-b²

6° FACTORISATION

A et B désignent deux nombres; si A=B, alors B=A

Ainsi, on peut utiliser chacune des formules 'dans l'autre sens'; on dit alors que l'on factorise, puisque l'on transforme une somme (ou différence) en produit de facteurs.

Exemples de factorisations :

ab+ac-ad= a(b+c - d)

a²+2ab+b²=(a+b)²

a²-2ab+b²=(a-b)²

a²-b²=(a+b)(a-b)