Fractions 3 - réduire au même dénominateur

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Fractions 3 - réduire au même dénominateur - cours

Egalité de fractions et réduction au même dénominateur
1) Rappel : règle fondamentale des fractions
REGLE : Si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre non nul, alors on obtient une fraction égale.

$\red\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k} \ \ et \ \ aussi \ \ \frac{a}{b}=\frac{a\div k}{b\div k}$ (avec b ≠ 0 et k ≠ 0)
Exemples :
$\blue\frac{3}{4}=\frac{3\times2}{4\times2}=\frac{6}{8}$
$\blue\frac{12}{15}=\frac{12\div3}{15\div3}=\frac{4}{5}$

2) Réduire au même dénominateur

Cette opération est indispensable pour pouvoir comparer, additionner ou soustraire des fractions (voir cours suivants sur les fractions)

On donne deux fractions : par exemple $\red A = \frac{7}{24} \ \ et \ \ B = \frac{11}{32}$ .
Réduire A et B au même dénominateur, c'est trouver deux fractions A' et B' de même dénominateur, et telles que A=A' et B=B'.

De plus, pour éviter les nombres trop grands dans les fractions, on va essayer que ce dénominateur commun soit le plus petit possible.

Comment faire en pratique ?
Il nous faut trouver tout d'abord un multiple des deux dénominateurs 24 et 32. Ce multiple sera le dénominateur des deux nouvelles fractions.
On pourrait multiplier entre eux les deux dénominateurs...mais cela donne en général un nombre trop grand
Nous allons voir comment trouver le plus petit multiple commun à 24 et 32.
Je prends le plus grand dénominateur et je dresse la liste de ses multiples...jusqu'à obtenir un multiple de l'autre.

Ici, je choisis donc : 32.
32x1 = 32 .....n'est pas un multiple de 24
32x2 = 64 .....n'est pas un multiple de 24
32x3 = 96 .....EST UN MULTIPLE DE 24 car 24x4=96.

Le dénominateur commun sera donc : 96.

96 = 32x3 et 96 = 24x4
donc
$\frac{7}{24} =\frac{7\times 4}{24\times4} = \frac{28}{96} \ \ et \ \ \frac{11}{32} = \frac{11\times 3}{32\times 3} = \frac{33}{96}$

On a obtenu $\frac{7}{24}=\frac{28}{96} \ \ et \ \ \frac{11}{32}=\frac{33}{96}$ : on a réduit les deux fractions au même dénominateur (96).
On pourrait à présent utiliser ce résultat pour les comparer, les additionner ou les soustraire. (voir cours suivants)

3) Deux cas particuliers plus simples :
a) Un dénominateur est un multiple de l'autre.
Dans ce cas, pas d'hésitation, le dénominateur final sera le plus grand des deux, et il n'y a qu'une seule fraction à modifier
Exemple :
Réduire au même dénominateur $\frac{3}{5} \ \ et \ \ \frac{7}{10}$ .
10 est multiple de 5 et 10 = 5x2 : donc
on garde la fraction 7/10
on multiplie $\frac{3}{5}$ 'en haut et en bas' par 2 (pour que le dénominateur soit 10)
On obtient donc : $\frac{6}{10} \ \ et \ \ \frac{7}{10}$ .
(on pourra alors, par exemple, additionner ces deux fractions)
b) Les deux dénominateurs sont premiers entre eux
(C'est-à-dire qu'ils ne figurent jamais dans la même table de multiplication, sauf celle du 1! )
Dans ce cas, pour obtenir le dénominateur commun, il faudra multiplier entre eux ces 2 nombres. On n'obtiendra pas de multiple commun plus petit que celui-là.
Exemple :
Réduire au même dénominateur $\frac{4}{7} \ \ et \ \ \frac{5}{8}$ .
le dénominateur commun sera 7x8 = 56
on multiplie $\frac{4}{7}$ 'en haut et en bas' par 8 (pour que le dénominateur soit 56)
on multiplie $\frac{5}{8}$ 'en haut et en bas' par 7 (pour que le dénominateur soit 56)
On obtient donc : $\frac{32}{56} \ \ et \ \ \frac{35}{56}$ .
(On peut, par exemple, en déduire que $\frac{4}{7} < \frac{5}{8}$ )

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1) Exercice guidé

On veut réduire au même dénominateur les fractions : $\frac{7}{9}$ et $\frac{5}{6}$ .
Quel dénominateur commun (le plus petit possible) va-t-on choisir ?
Compléter :
$\frac{7}{9} = \frac{n}{18}\Rightarrow n =$
$\frac{5}{6} = \frac{N}{18}\Rightarrow N =$

Les deux fractions finales sont donc :
$\frac{7}{9} =$ numérateur / dénominateur
et $\frac{5}{6} =$ numérateur /dénominateur

2) Sans filet !
Réduire les fractions suivantes au même dénominateur et donner les fractions obtenues dans le même ordre :

a) $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{12}\Rightarrow$ / et /
b) $\frac{2}{5}$ et $\frac{1}{3}\Rightarrow$ / et /
c) $\frac{5}{8}$ et $\frac{7}{12}\Rightarrow$ / et /

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