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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°19210 : Fractions 2 - simplification - cours

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Fractions 2 - simplification - cours


Egalité de fractions et simplification

1) Introduction :

  • Supposons que j'aie coupé un gâteau en 4 parts égales et que j'en prenne 1 part : j'ai pris du gâteau.
  • Si maintenant je me suis trompé(e) et que j'ai coupé mon gâteau en 8 parts égales : les parts sont deux fois plus petites.
  • Pour avoir autant de gâteau que précédemment, il faudra donc que j'en prenne 2 parts, c'est-à-dire .

Mathématiquement, cela s'écrit : .

REGLE : Si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, alors on obtient une fraction égale.

et aussi (avec b ≠ 0 et k ≠ 0)
Exemples :



2) Qu'est-ce que la simplification ?

D'après la règle ci-dessus

Parmi toutes ces fractions égales, la plus simple est celle qui a le numérateur et le dénominateur entiers les plus petits possibles.

SIMPLIFIER une fraction, c'est donc essayer de trouver cette fraction la plus simple.

(on l'appelle fraction irréductible)

 

Dans l'exemple ci-dessus, simplifier c'est écrire à la place de .

 

Il y a deux méthodes pour simplifier des fractions : nous allons les appliquer pour simplifier la fraction .

a) Par division
  • On repère que 18 et 15 sont tous les deux dans la table de multiplication de 3.
  • On va donc diviser 'en haut et en bas' par 3 :

  • On ne peut pas simplifier davantage.

b) Par décomposition en produits

Toujours en utilisant la table du 3:

  • On décompose 18 et 15 en produits contenant le nombre 3,

    c'est-à-dire qu'on va remplacer, dans l'écriture de la fraction, 18 par 6x3 et 15 par 5x3

  • Puis on barre le 3 au numérateur et au dénominateur :

  • on arrive au même résultat qu'avec la méthode précédente, c'est-à-dire

Cela revient exactement au même que la première méthode : barrer un 'x3' revient à diviser par 3 !

Ainsi, on pourra toujours, si le numérateur et le dénominateur sont des produits (nombres multipliés), barrer deux facteurs identiques 'en haut et en bas'.

 

3) Intérêt de la deuxième méthode:

  • Elle nous servira beaucoup quand nous multiplierons les fractions.
  • Elle est très pratique quand la fraction est donnée sous la forme d'un produit comme ci-dessous :

Simplifier

On peut alors barrer tous les facteurs identiques 'en haut et en bas' : c'est très rapide !

On peut encore simplifier car 8 est dans la table du 2.

On remplace 8 par 4x2 dans le numérateur

qu'on ne peut pas simplifier davantage.

Qu'est-ce qui se passe quand on a 'tout barré' ?

Exemple : Simplifier

J'ai tout barré au numérateur !==>Cela veut dire qu'il reste 1 au numérateur.

En effet, si on divise un nombre par lui-même, le résultat est 1 .

Donc

 

ATTENTION !

a)Cela ne fonctionne pas du tout avec des additions

Exemple : simplifier .

On n'a pas le droit de barrer les '2' qui sont additionnés, cela donnerait un résultat faux.

Ici on doit faire les calculs : qu'on ne peut pas simplifier davantage.

 

b)Il faut qu'il n'y ait que des produits

Exemple 1 : simplifier

Même si 3 est multiplié, le numérateur est une somme (5 + 6) et non un produit. ON NE PEUT PAS barrer les '3' dans cet exemple.

Il faut faire les calculs :

qu'on ne peut pas simplifier davantage.

 

Exemple 2 : simplifier

Ici il y a bien un produit 'en haut et en bas' et 3 est un facteur de chacun de ces produits.

On peut barrer les 3 :

qu'on ne peut pas simplifier davantage.





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1)Compléter ces simplifications :




2) Simplifier au maximum les fractions suivantes, écrire le numérateur puis le dénominateur obtenus :
numérateur = /dénominateur =
numérateur = /dénominateur =
numérateur = /dénominateur =

numérateur = /dénominateur =







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