Fractions 2 - simplification

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Fractions 2 - simplification - cours

Egalité de fractions et simplification
1) Introduction :
Supposons que j'aie coupé un gâteau en 4 parts égales et que j'en prenne 1 part : j'ai pris $\blue\frac{1}{4}$ du gâteau.
Si maintenant je me suis trompé(e) et que j'ai coupé mon gâteau en 8 parts égales : les parts sont deux fois plus petites.
Pour avoir autant de gâteau que précédemment, il faudra donc que j'en prenne 2 parts, c'est-à-dire $\blue\frac{2}{8}$ .
Mathématiquement, cela s'écrit : $\blue\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$ .
REGLE : Si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, alors on obtient une fraction égale.
$\red\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}$ et aussi $\red\frac{a}{b}=\frac{a\div k}{b\div k}$ (avec b ≠ 0 et k ≠ 0)
Exemples :
$\frac{3}{4}=\frac{3\times2}{4\times2}=\frac{6}{8}$
$\frac{12}{15}=\frac{12\div3}{15\div3}=\frac{4}{5}$

2) Qu'est-ce que la simplification ?
D'après la règle ci-dessus
$\red\frac{6}{8}=\frac{12}{16}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4} = \frac{24}{32}= \frac{30}{40}= \frac{1,5}{2}$ …
Parmi toutes ces fractions égales, la plus simple est celle qui a le numérateur et le dénominateur entiers les plus petits possibles.
SIMPLIFIER une fraction, c'est donc essayer de trouver cette fraction la plus simple.
(on l'appelle fraction irréductible)

Dans l'exemple ci-dessus, simplifier $\frac{6}{8}$ c'est écrire $\frac{3}{4}$ à la place de $\frac{6}{8}$ .

Il y a deux méthodes pour simplifier des fractions : nous allons les appliquer pour simplifier la fraction $\red\frac{18}{15}$ .
a) Par division
On repère que 18 et 15 sont tous les deux dans la table de multiplication de 3.
On va donc diviser 'en haut et en bas' par 3 :
$\frac{18}{15}=\frac{18\div3}{15\div3}=\frac{6}{5}$
On ne peut pas simplifier davantage.
$\blue\frac{18}{15}=\frac{6}{5}$
b) Par décomposition en produits
Toujours en utilisant la table du 3:
On décompose 18 et 15 en produits contenant le nombre 3,
c'est-à-dire qu'on va remplacer, dans l'écriture de la fraction, 18 par 6x3 et 15 par 5x3
$\frac{18}{15} = \frac{6\times3}{5\times3}$
Puis on barre le 3 au numérateur et au dénominateur :
$\frac{18}{15} = \frac{6\times\cancel{3}}{5\times\cancel{3}}=\frac{6}{5}$
on arrive au même résultat qu'avec la méthode précédente, c'est-à-dire $\frac{6}{5}$
Cela revient exactement au même que la première méthode : barrer un 'x3' revient à diviser par 3 !
Ainsi, on pourra toujours, si le numérateur et le dénominateur sont des produits (nombres multipliés), barrer deux facteurs identiques 'en haut et en bas'.

3) Intérêt de la deuxième méthode:
Elle nous servira beaucoup quand nous multiplierons les fractions.
Elle est très pratique quand la fraction est donnée sous la forme d'un produit comme ci-dessous :
Simplifier $A=\frac{5\times8\times3}{3\times5\times3\times2}$
On peut alors barrer tous les facteurs identiques 'en haut et en bas' : c'est très rapide !
$A=\frac{\cancel{5}\times8\times \cancel{3}}{\cancel{3}\times \cancel{5}\times3\times2}$
$A=\frac{8}{3\times2}$
On peut encore simplifier car 8 est dans la table du 2.
On remplace 8 par 4x2 dans le numérateur
$A=\frac{4\times \cancel{2}}{3\times \cancel{2}}=\frac{4}{3}$ qu'on ne peut pas simplifier davantage.
Qu'est-ce qui se passe quand on a 'tout barré' ?
Exemple : Simplifier $B=\frac{2\times3\times4}{3\times4\times2\times5}$
$B=\frac{\cancel{2}\times\cancel{3}\times\cancel{4}}{\cancel{3}\times\cancel{4}\times\cancel{2}\times5}$
J'ai tout barré au numérateur !==>Cela veut dire qu'il reste 1 au numérateur.
En effet, si on divise un nombre par lui-même, le résultat est 1 .
Donc $B=\frac{1}{5}$

ATTENTION !

a)Cela ne fonctionne pas du tout avec des additions
Exemple : simplifier $\frac{5+2}{3+2}$ .
On n'a pas le droit de barrer les '2' qui sont additionnés, cela donnerait un résultat faux.
Ici on doit faire les calculs : $\frac{5+2}{3+2}=\frac{7}{5}$ qu'on ne peut pas simplifier davantage.

b)Il faut qu'il n'y ait que des produits
Exemple 1 : simplifier $\frac{5+2\times3}{4\times3}$
Même si 3 est multiplié, le numérateur est une somme (5 + 6) et non un produit. ON NE PEUT PAS barrer les '3' dans cet exemple.
Il faut faire les calculs :
$\frac{5+2\times3}{4\times3}= \frac{5+6}{4\times3}=\frac{11}{12}$ qu'on ne peut pas simplifier davantage.

Exemple 2 : simplifier $\frac{3\times6}{3\times(2+5)}$
Ici il y a bien un produit 'en haut et en bas' et 3 est un facteur de chacun de ces produits.
On peut barrer les 3 :
$\frac{\cancel{3}\times6}{\cancel{3}\times(2+5)}= \frac{6}{2+5}=\frac{6}{7}$ qu'on ne peut pas simplifier davantage.

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1)Compléter ces simplifications :

$\frac{20}{15}=\frac{n}{3}\rightarrow n=$
$\frac{28}{12}=\frac{7}{d}\rightarrow d=$

2) Simplifier les fractions suivantes, écrire le numérateur puis le dénominateur obtenus.:
$\frac{18}{14}\rightarrow$ numérateur = /dénominateur =
$\frac{45}{20}=\rightarrow$ numérateur = /dénominateur =
$\frac{4\times5\times3\times2}{2\times3\times3\times7}=\rightarrow$ numérateur = /dénominateur =

$\frac{32}{16}\rightarrow$ numérateur = /dénominateur =

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