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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°19210: Fractions 2 - simplification - cours

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    Fractions 2 - simplification - cours


    Egalité de fractions et simplification

    1) Introduction :

    • Supposons que j'aie coupé un gâteau en 4 parts égales et que j'en prenne 1 part : j'ai pris du gâteau.
    • Si maintenant je me suis trompé(e) et que j'ai coupé mon gâteau en 8 parts égales : les parts sont deux fois plus petites.
    • Pour avoir autant de gâteau que précédemment, il faudra donc que j'en prenne 2 parts, c'est-à-dire .

    Mathématiquement, cela s'écrit : .

    REGLE : Si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, alors on obtient une fraction égale.

    et aussi (avec b ≠ 0 et k ≠ 0)
    Exemples :



    2) Qu'est-ce que la simplification ?

    D'après la règle ci-dessus

    Parmi toutes ces fractions égales, la plus simple est celle qui a le numérateur et le dénominateur entiers les plus petits possibles.

    SIMPLIFIER une fraction, c'est donc essayer de trouver cette fraction la plus simple.

    (on l'appelle fraction irréductible)

     

    Dans l'exemple ci-dessus, simplifier c'est écrire à la place de .

     

    Il y a deux méthodes pour simplifier des fractions : nous allons les appliquer pour simplifier la fraction .

    a) Par division
    • On repère que 18 et 15 sont tous les deux dans la table de multiplication de 3.
    • On va donc diviser 'en haut et en bas' par 3 :

    • On ne peut pas simplifier davantage.

    b) Par décomposition en produits

    Toujours en utilisant la table du 3:

    • On décompose 18 et 15 en produits contenant le nombre 3,

      c'est-à-dire qu'on va remplacer, dans l'écriture de la fraction, 18 par 6x3 et 15 par 5x3

    • Puis on barre le 3 au numérateur et au dénominateur :

    • on arrive au même résultat qu'avec la méthode précédente, c'est-à-dire

    Cela revient exactement au même que la première méthode : barrer un 'x3' revient à diviser par 3 !

    Ainsi, on pourra toujours, si le numérateur et le dénominateur sont des produits (nombres multipliés), barrer deux facteurs identiques 'en haut et en bas'.

     

    3) Intérêt de la deuxième méthode:

    • Elle nous servira beaucoup quand nous multiplierons les fractions.
    • Elle est très pratique quand la fraction est donnée sous la forme d'un produit comme ci-dessous :

    Simplifier

    On peut alors barrer tous les facteurs identiques 'en haut et en bas' : c'est très rapide !

    On peut encore simplifier car 8 est dans la table du 2.

    On remplace 8 par 4x2 dans le numérateur

    qu'on ne peut pas simplifier davantage.

    Qu'est-ce qui se passe quand on a 'tout barré' ?

    Exemple : Simplifier

    J'ai tout barré au numérateur !==>Cela veut dire qu'il reste 1 au numérateur.

    En effet, si on divise un nombre par lui-même, le résultat est 1 .

    Donc

     

    ATTENTION !

    a)Cela ne fonctionne pas du tout avec des additions

    Exemple : simplifier .

    On n'a pas le droit de barrer les '2' qui sont additionnés, cela donnerait un résultat faux.

    Ici on doit faire les calculs : qu'on ne peut pas simplifier davantage.

     

    b)Il faut qu'il n'y ait que des produits

    Exemple 1 : simplifier

    Même si 3 est multiplié, le numérateur est une somme (5 + 6) et non un produit. ON NE PEUT PAS barrer les '3' dans cet exemple.

    Il faut faire les calculs :

    qu'on ne peut pas simplifier davantage.

     

    Exemple 2 : simplifier

    Ici il y a bien un produit 'en haut et en bas' et 3 est un facteur de chacun de ces produits.

    On peut barrer les 3 :

    qu'on ne peut pas simplifier davantage.





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    1)Compléter ces simplifications :




    2) Simplifier les fractions suivantes, écrire le numérateur puis le dénominateur obtenus.:
    numérateur = /dénominateur =
    numérateur = /dénominateur =
    numérateur = /dénominateur =

    numérateur = /dénominateur =







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