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Variations de fonction

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Variations de fonction
Message de dom43 posté le 20-04-2017 à 11:16:59 (S | E | F)
Bonjour,

Je bloque sur un exo sur les fractions et les suites:

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)= (x-1)/(x+1)
1)Etudiez les variations de f.
2)On considère la suite (Un)n∈N définie par Un=f(n). Montrer que la suite est croissante.
3)Montrer que pour n>1, Un est minorée et majorée.

1)Pour faire ça, je calcule la dérivée en utilisant la formule (u/v)'=u'v-v'u/v^2.
Je trouve 2/(x-1)^2, ce qui me donne des valeurs positives au numérateur et au dénominateur
. Comme au départ, j'ai vu que -1 est une valeur interdite, j'en déduis que f est croissante sur ]-inf;-1[ et toujours croissante sur ]-1;+inf[.

2)Quand une suite est définie par une fonction, les variations de la fonction donnent les variations de la suite (donc je pense que ma réponse précédente suffit à répondre, non?)

3)Je n'ai pas du tout compris les suites bornées ; je ne sais pas comment on fait pour le démontrer.

Merci d'avance pour vos réponses.


Réponse : Variations de fonction de puente17, postée le 20-04-2017 à 11:56:08 (S | E)
Bonjour,

1)Pour faire ça, je calcule la dérivée en utilisant la formule (u/v)'=u'v-v'u/v^2.
Je trouve 2/(x-1)^2, ce qui me donne des valeurs positives au numérateur et au dénominateur

Une faute d'inattention... v = x+1, non?
Mais la conclusion est bonne....


3)Montrer que pour n>1, Un est minorée et majorée.
Je ne vois pas très bien l'utilité de la restriction n > 1, c'est valable sur N tout entier.
Faites un graphique pour f sur [0; +infini [ et vous aurez votre réponse.
Quel est l'image par f de cet intervalle?



Réponse : Variations de fonction de dom43, postée le 22-04-2017 à 17:43:35 (S | E)
1)Oui dsl, petite faute d'inattention.

2)Donc c'est bon pour le 2 ?

3)J'ai vraiment du mal avec le bornage. Faut-il voir qu'il y a une asymptote horizontale en y=1 ?



Réponse : Variations de fonction de puente17, postée le 22-04-2017 à 17:58:53 (S | E)
Bonjour,

Quel est l'image de [0 ; l'infini [ par la fonction f ? regardez le graphique. La réponse vous apporte immédiatement la solution, allez, courage !

La notion d'asymptote ne sert pas à grand chose ici.



Réponse : Variations de fonction de kazwell, postée le 22-04-2017 à 18:09:48 (S | E)
Hmmm dans question 2) on vous demande de "montrer" et non "déduire" , je vous conseille donc la bonne vielle méthode :

Montrer que U(n+1) - U(n) > 0



Réponse : Variations de fonction de puente17, postée le 22-04-2017 à 20:31:18 (S | E)
Bonjour,

u(n+1) - u(n) = f(n+1) - f(n) or f est croissante sur ]-1 ;+infini( (car elle y est dérivable et que sa dérivée est strictement positive ) or n+1 > n donc f(n+1) > f(n) etc... ça s'appelle une démonstration, .
plus court et tout aussi rigoureux : f strict. croissante sur [0 ; + inf[ → u strict. croissante sur N, c'est un théorème du cours . Bien sûr il existe d'autres moyens de faire la démonstration...il en faut pour tous les goûts.



Réponse : Variations de fonction de dom43, postée le 22-04-2017 à 21:11:45 (S | E)
Désolé de mettre autant de temps à comprendre mais je ne comprends pas de quel nombre je dois regarder l'image.
Sur le graphique, les images sur ]1;+inf[ sont positives et ne dépassent jamais 1, est-ce la réponse ?



Réponse : Variations de fonction de puente17, postée le 23-04-2017 à 11:32:44 (S | E)
Bonjour,

l'image de [0 ; + infini[ par f est [-1 ; +1[ (je ne vois aucune raison pour poser la restriction n>1 car la propriété est vraie dès n = 0, à mon avis c'est une simple maladresse, sans conséquence, du texte)
en résumé -1 est un minorant de la suite, +1 est un majorant de la suite donc la suite est bornée.
Remarque: la suite est croissante et bornée donc elle a une limite, c'est une propriété bien plus importante que le simple fait d'être bornée (minorée et majorée).



Réponse : Variations de fonction de dom43, postée le 24-04-2017 à 18:50:19 (S | E)
Merci beaucoup pour vos explications très claires.

SI je n'abuse pas, j'aimerais juste savoir si votre explication peut suffire comme démonstration pour ma question ou bien s'il me faut faire d'autres calculs ?




Réponse : Variations de fonction de puente17, postée le 25-04-2017 à 11:51:01 (S | E)
Bonjour,

l'image de [0 ; + infini[ par f est [-1 ; +1[,
La seule chose à mon avis à justifier un peu c'est l'affirmation ci-dessus en s'appuyant sur les propriétés de la fonction f.
f(0) = ?
lim f (en + l'infini) c'est : ? ( à détailler un peu)
rappeler le sens de variation de f sur cet intervalle




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