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Suite numérique

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Suite numérique
Message de hedoris posté le 16-04-2017 à 18:31:06 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un DM sur les suites numériques à rendre.

Voici l'exo 1 :
Soit la suite Un définie apar U0=-2, U1=1 et par Un+2=0,5*(Un+1+Un).

1)Calculer les 5 premiers termes de la suite.

Je trouve U0=-2, U1=1, U2=-0,5, U3=0.25, U4=-0.125

2)Montrer que la suite Vn définie par Vn=Un+1-Un est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Pour moi, Vn=1-2=-1
Vn+1=Un+2-Un+1=-0,5-1=-1,5
Donc, Vn+1/Vn=-1,5/-1=1,5.
La raison est 1,5 et le premier terme est -1.

3)Exprimer Vn en fonction de n.

Vn=-1*1,5^n

4)Soit Sn= V0+V1+V2+...+Vn-1. Exprimer Sn en fonction de n. En déduire l'expression de Un en fonction de n.

Je n'ai pas compris cette question, pouvez-vous me l'expliquer ?
Et pouvez-vous me dire si mes autres résultats sont corrects ?

Merci d'avance pour votre aide.



Réponse : Suite numérique de emad2015, postée le 16-04-2017 à 20:44:14 (S | E)
Bonjour.
Tu peux refaire tes calculs car la raison 1.5 n'est pas correct par contre le premier terme est bien trouvé.
Pour le calcul de Sn essaye d'exploiter les propriétés de la somme d'une suite géométrique.
Pour trouver Un en fonction de n, Sn est une somme télescopique de Un et vous voilà résoudre l'exercice.



Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 17-04-2017 à 11:54:44 (S | E)
Bonjour,

Il est essentiel dans ce genre d'exercice d'avoir les résultats numériques initiaux justes car ce sont eux souvent qui apportent des idées qu'il faudra ensuite justifier.
Il faudrait reprendre soigneusement les calculs. d'autre part l'utilisation des indices n'est pas maîtrisé, une suit numérique c'est une fonction de N dans R (ou C, ou ...) et donc vn peut aussi s'écrire v(n). vn c'est l'image de n par la fonction v.

pour prendre un bon départ :
V0 = 3
v1 = -1,5
v2 = 0,75
Avec ça on a tout ce qu'il faut pour avoir l'idée (il semblerait qu'on ait affaire à une suite géométrique de raison -1/2. Il faudra le démontrer)
ça c'est chouette car c'est facile à étudier puisque c'est du cours.

Remarque : Pour moi, Vn=1-2=-1
Vn+1=Un+2-Un+1=-0,5-1=-1,5

Ces 2 lignes n'ont pas de sens, car si vn = -1 (pour tout n donc) alors v est une fonction constante et donc v(n+1) = -1 aussi !!!!

Bon courage, il vaut mieux ne pas aller trop vite et tout contrôler c'est la meilleur façon pour être rapide




Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 17-04-2017 à 18:31:28 (S | E)
Merci beaucoup pour votre réponse.
Effectivement, j'ai voulu aller trop vite.

V0=U1-U0=1+2=3
V1=U2-U1=-0.5-1=-1,5

Donc, Vn+1/Vn=-1,5/3=-0,5

La raison est donc de -0,5 et le premeir terme est 3, ce qui me donne :
Vn=3*(-0,5)^n.

Par contre, je ne comprends toujours pas 4)Soit Sn= V0+V1+V2+...+Vn-1. Exprimer Sn en fonction de n. En déduire l'expression de Un en fonction de n.
Je bloque surtout avec Vn-1.

Merci d'avance pour votre aide.



Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 18-04-2017 à 14:15:00 (S | E)
Bonjour,
Que la raison soit -1/2 c'est vrai mais ça doit être démontré par des calculs d'ordre généraux et pas sur de simples cas particuliers sinon ça n'a aucune valeur.

Vous devrez donc démontrer que pour toute valeur de n on a : v(n+1) = - 1/2 v(n). C'est déjà bien d'avoir l'idée mais il faudra prouver qu'elle est vraie.
Je vous fais le début:
v(n+1) = u(n+2) -u(n+1) = 0,5 (u(n+1)+u(n)) - u(n+1) =... =-0,5 (u(n+1) -u(n)) = -0,5 v(n) à vous de trouver les "..."
corrigez déjà ça, essayez de comprendre où sont vos erreurs, il est inutile d'aller trop vite, avancer sans savoir où l'on va c'est la meilleur façon de se perdre.



Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 20-04-2017 à 19:34:33 (S | E)
Je suis désolé mais je ne comprends pas votre calcul.

Tout ce que j'ai pu faire, c'est :
Vn+1=3*(-0.5)^n+1 et Vn=3*(-0,5)^n

Donc Vn+1/Vn= 3*(-0.5)^n+1/3*(-0,5)^n= 3*(-0,5)*(-0.5)/3*(-0,5)=(-0.5) J'ai tout simplement simplifié.

Je ne sais pas du tout si c'est ce que vous vouliez me dire.




Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 20-04-2017 à 20:36:13 (S | E)
Bonjour,

Une erreur de logique très grave, vous partez du fait que la suite vn est géométrique, ce qu'il faut montrer, pour aboutir au calcul de sa raison que vous imposez dans votre définition de vn.
Reprenez tranquillement ma démonstration, toute la difficulté de l'exercice s'y trouve et vous ne pourrez pas faire l'économie d'un gros effort personnel. Si vous aboutissez, quelques soient les efforts fournis, vous n'aurez pas perdu votre temps.
Bon courage



Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 24-04-2017 à 18:37:49 (S | E)
Tout d'abord, désolé de ne répondre que maintenant, j'ai eu des problèmes de connexion.

Je suis désolé mais je ne comprends pas votre calcul :

v(n+1) = u(n+2) -u(n+1) --- jusque là d'accord

v(n+1) = 0,5 (u(n+1)+u(n)) - u(n+1) --- là, je ne comprends plus du tout votre calcul, pouvez-vous me l'expliquez ?


Et pour la question 4, pouvez-vous me dire comment je dois faire pour calculer une somme avec Vn-1 ? Merci d'avance.



Réponse : Suite numérique de puente17, postée le 25-04-2017 à 11:58:06 (S | E)
Bonjour,

v(n+1) = 0,5 (u(n+1)+u(n)) - u(n+1) --- là, je ne comprends plus du tout votre calcul, pouvez-vous me l'expliquez ?

Regardez bien dans votre texte la définition de u(n+2) je n'ai fait que la recopier.
Ensuite il vous suffira de développer les calculs afin d'arriver à la conclusion (que j'ai mis).



Réponse : Suite numérique de hedoris, postée le 27-04-2017 à 18:11:17 (S | E)
Autant pour moi, j'ai lu trop rapidement.
Mais pour après :
v(n+1) = 0,5u(n+1)+ 0,5u(n)- u(n+1)?

Faut-il remplacer un par sa valeur dans la suite ? Sinon, je tombe sur -0,5u(n+1)+ 0,5u(n), ce qui est différent de votre calcul ?

Je suis désolé de me répéter mais pour la question 4, pouvez-vous me dire comment je dois faire pour calculer une somme avec Vn-1 ?

Merci d'avance.




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