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Fonction

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Fonction
Message de hedoris posté le 12-02-2017 à 10:33:21 (S | E | F)
Bonjour,

Je dois résoudre un exercice mais je ne comprends pas la consigne :

Déterminer trois réels a,b,c tels que, pour tout x appartenant à R-1
f(x) = a+b/(x-1)+c/(x-1)^2

Comment dois-je m'y prendre ?
Merci d'avance pour votre aide


Réponse : Fonction de toufa57, postée le 12-02-2017 à 13:27:39 (S | E)
Bonjour,

L'énoncé est sûrement incomplet. Pourrais-tu nous donner le tout, s'il te plaît?
Merci.



Réponse : Fonction de hedoris, postée le 12-02-2017 à 14:02:07 (S | E)
Désolé, je pensais l'avoir écrit.
Soit F la fonction définie sur R-{1} par f(x) = x^2/(x^2-2x+1).



Réponse : Fonction de toufa57, postée le 12-02-2017 à 15:42:27 (S | E)
Es-tu sûr que c'est a+b et non ax+b ?



Réponse : Fonction de hedoris, postée le 12-02-2017 à 15:47:36 (S | E)
Oui c'est bien a, plus loin + b/(x-1), plus loin c/(x-1)^2



Réponse : Fonction de tiruxa, postée le 12-02-2017 à 16:08:39 (S | E)
Bonjour

Il faut réduire au même dénominateur
puis ecrire le numérateur sous forme développée et réduite,
enfin identifier les coeffs des polynômes des numerateurs situes de part et d'autre de l'egalite.

Pour la réduction au même denominateur voici un exemple

a + b/3 + c/3²

le dénominateur commun est 3²

on obtient : (3²a + 3b + c)/3²



Réponse : Fonction de toufa57, postée le 12-02-2017 à 16:09:41 (S | E)
Ah, ça change tout!! Il faut mettre des parenthèses dans ce cas là.

Donc c'est bien: x^2/(x-1)^2 = a + [b/(x-1)] + [c/(x-1)^2] ?
Réduire au même dénominateur pour pouvoir l'enlever, puis par compaaison des termes, tu trouveras les inconnues.





Réponse : Fonction de hedoris, postée le 12-02-2017 à 16:39:09 (S | E)
Je ne comprends pas:
x^2/(x-1)^2 = a + [b/(x-1)] + [c/(x-1)^2]
La deuxième partie d'accord ( a + [b/(x-1)] + [c/(x-1)^2]) mais que veut dire la première ?

Faut-il faire :
a(x-1)^2+b(x-1)^2+c au numérateur et (x-1)^2 au dénominateur ?



Réponse : Fonction de toufa57, postée le 12-02-2017 à 16:59:11 (S | E)
Mais, x^2-2x+1 = (x-1)^2, non ??

Oui, le dénominateur commun(D.C) de cette égalité est bien (x-1)^2.
Erreur pour le b qui a déjà (x-1)comme dénominateur, quoi lui rajouter pour avoir le D.C?




Réponse : Fonction de hedoris, postée le 12-02-2017 à 17:30:38 (S | E)
Oui, juste. Il faut simplement lui ajouter (x-1).
Est-ce que j'ai bon avec ax^2-2ax+bc+c-b+c divisé par (x-1)^2 ?



Réponse : Fonction de toufa57, postée le 12-02-2017 à 18:04:09 (S | E)
Non. Reprends le calcul et fais attention à ce que tu écris.




Réponse : Fonction de hedoris, postée le 12-02-2017 à 18:14:39 (S | E)
Je l'ai refait et je tombe sur le même résultat.
La seule chose que je pourrait faire c'est de simplifier par (x-1)^2 ?



Réponse : Fonction de tiruxa, postée le 12-02-2017 à 20:11:44 (S | E)
Erreur de développement dans

a(x-1)^2+b(x-1)+c au numérateur

On obtient a(x²-2x+1) + b(x-1) +c =.....

à terminer



Réponse : Fonction de hedoris, postée le 13-02-2017 à 09:38:04 (S | E)
je viens de me rendre compte que j'avais fait une faute de frappe dans mon message précédent,
ax^2-2ax+bc+a-b+c divisé par (x-1)^2, c'est correct comme ça ?



Réponse : Fonction de tiruxa, postée le 13-02-2017 à 11:23:13 (S | E)
Non pas tout à fait, c'est bx au lieu de bc

ax^2-2ax+bx+a-b+c divisé par (x-1)^2

Donc il faut regrouper les termes en x (de degré 1)

On obtient alors

ax² +(........)x +(a-b+c)

Je te laisse compléter puis égaler les coefficients des deux numérateurs sachant que l'autre est 1x² + 0x + 0



Réponse : Fonction de hedoris, postée le 13-02-2017 à 12:14:41 (S | E)
On obtient ax² +(-2a+b)x +(a-b+c).

Mais après, comment je trouve les valeurs de a,b et c ?
Je ne comprends pas 1x² + 0x + 0, ça veut dire que a=1 ?



Réponse : Fonction de toufa57, postée le 13-02-2017 à 15:01:37 (S | E)
Bonjour,

Oui,c'est correct et ceci veut dire que a=1.
Maintenant, remplace a par sa valeur et tire b et c.




Réponse : Fonction de hedoris, postée le 13-02-2017 à 16:16:23 (S | E)
Je trouve b=2 et c=1.
Mais comment je fais pour trouver 1x² + 0x + 0, étant donné que c'est grâce à ça que j'ai pu avancer ?



Réponse : Fonction de wab51, postée le 13-02-2017 à 17:39:02 (S | E)
Bonjour
Tu es arrivé !tes résultats sont exacts.
Ta dernière question m'a laissé pensé que tu avais peut-être choisi une autre méthode que celle qu'on t'avait déjà proposée .C'est pourquoi ,je me suis dit " pourquoi pas élargir le champ de vision et de raisonnement à ta question en plus de tout ce qui a été fait à ce sujet.
1°-Par comparaison sachant que le second membre x^2=1.x^2 + 0.x^0 + 0.x^0
( car x^0=1)
a.x^2+(-2.a+b).x^1+(a-b+c).x^0=1.x^2+0.x^0+0.x^0
Par simple comparaison des coefficients respectifs il en sort que
a= 1, -2a+b=0et enfin que a-b+c=0
(système simple à résoudre )
2°- En appliquant la règle "pour qu'un polynôme réduit soit nul".(que ses coefficients respectifs soient nuls)
ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)=x^2 (transposer le 2eme membre x^2 vers le 1er membre avec changement de signe )pour obtenir
(a-1)x^2+(-2a+b)x+(a-b+c)=0 d’où et d'après la règle précédente ,on obtient
a-1=0
-2a+b=0
a-b+c=0
C'est ainsi que découlent après résolution du système les résultats a=1 ,b=2 et c=1 .Merci à tous




Réponse : Fonction de hedoris, postée le 13-02-2017 à 18:58:32 (S | E)
Merci pour vos explications.
Mais je n'arrive toujours pas à comprendre comment je suis censé trouver 1x² + 0x + 0 à partir de ax² +(-2a+b)x +(a-b+c).
Pourquoi ax² est forcément égal à 1 ?



Réponse : Fonction de tiruxa, postée le 13-02-2017 à 19:07:57 (S | E)
Ben parce que on a f(x) = x²/(x²-2x+1) par hypothèse

et f(x)= [ax²+(-2a+b)x+(a-b+c)]/(x²-2x+1)

donc les numérateurs sont égaux pour tout réel x

ax²+(-2a+b)x+(a-b+c)=x²

Les coefficients des deux trinômes sont égaux

Or tout trinôme a trois coefficients, le coefficient de x² celui de x et le terme constant

Par exemple dans 3x²+5 les coeffs sont 3, 0 et 5 (0 pour le terme en x car justement il n'apparait pas !)

Pour x² ces coeffs sont 1, 0 et 0

Pour x²-x ce sont 1, -1 et 0

etc...



Réponse : Fonction de wab51, postée le 13-02-2017 à 19:43:22 (S | E)
Bonsoir
Désolé!je suis allé un peu trop vite en écrivant.J'ai apporté une petite correction au 1° et prière de lire
1°-Par comparaison sachant que le second membre x^2=1.x^2 + 0.x^1 + 0.x^0
( de cette manière X^2 apparait bien sous forme réduite et ordonnée sous les puissances décroissantes de x ,voire x^1=x et x^0=1)
a.x^2+(-2.a+b).x^1+(a-b+c).x^0=1.x^2+0.x^1+0.x^0
Merci



Réponse : Fonction de hedoris, postée le 14-02-2017 à 17:29:06 (S | E)
Merci beaucoup pour vos explications, j'ai enfin compris.
J'ai même réussi à trouver , grâce à ça, ce qu'on me demandait de dans la 2ème question qui était de calculer la lim f(x) en -inf et en +inf : la limite est 1.

Par contre, et j'espère vraiment ne pas abuser,il semble que j'ai fait une erreur à la 3ème et dernière question.
On me demande de calculer f'(x) et de vérifier que son signe est celui de -2x^2+2x.
Or moi, je trouve pour f'(x) : -6x^2+2x divisé par (x^2-2x+1)^2.

Merci d'avance pour votre aide.



Réponse : Fonction de wab51, postée le 14-02-2017 à 18:41:40 (S | E)
Bonsoir
Il n'y a pas de quoi!
*"Or moi, je trouve pour f'(x) : -6x^2+2x divisé par (x^2-2x+1)^2".
Tu as dû certainement glisser sur une petite erreur de signe en développant le numérateur .On ne trouve pas -6x^2 mais -2x^2 .En définitive f'(x)=[2x(-x+1)]/(x-1)^4 ou encore f'(x)=(-2x^2+2x)/(x^2-2x+1)^2
Bravo et je te souhaite bonne chance.



Réponse : Fonction de hedoris, postée le 14-02-2017 à 19:26:08 (S | E)
Vous avez sans aucun doute raison vu que vous avez le bon résultat, mais rien à faire, je ne le trouve pas.
En appliquant le cours u'v-v'u/v^2, j'arrive à 2x(x^2-2x+1)-2x-2(x^2) divisé par (x-1)^4. Ce qui me ramène à -6x^2+2x.



Réponse : Fonction de wab51, postée le 14-02-2017 à 19:51:16 (S | E)
*La formule est exacte .Mais tu l'as mal appliqué
u=x^2 d'où u'=2x
v=x^2-2x+1 d'où v'=2x-2 .
Pour ne pas tomber dans le piège des erreurs de signe ,emploie les parenthèses f'=[(u'.v)- (v'.u)]/v^2 .
J'espère que c'est plus clair .A TOI .



Réponse : Fonction de hedoris, postée le 15-02-2017 à 10:44:59 (S | E)
C'est beaucoup plus clair, j'ai obtenu le même résultat.
Et ça répond effectivement à la consigne, f'(x) est bien du signe de -2x^2+2x car le dénominateur est multiplié par lui-même, il est donc toujours positif.
J'ai même pu faire le tableau de variation, f(x) est décroissante de -inf à 0, croissante de 0 à 1 (valeur interdite) et décroissante de 1 à +inf.

Pour en finir définitivement avec cet exercice, pouvez-vous me dire si mes conclusions sont correctes (celles-ci mais aussi mes limites en -inf et en +inf, que j'ai posté un peu plus tôt) ?

Merci d'avance.




Réponse : Fonction de wab51, postée le 15-02-2017 à 15:11:17 (S | E)
Bonjour
Oui,bien!Tes conclusions sont correctes .Sauf que tu as encore le calcul des limites pour la fonction de f
quand x tend vers +l'infini ,vers - l'infini ,vers 1 à droite et à gauche ,pour que compléter le tableau de variation .
Bon courage



Réponse : Fonction de hedoris, postée le 15-02-2017 à 15:37:28 (S | E)
Pour moi,
la lim f(x) en -inf et en +inf est 1.
la lim f(x) en 1, x>1 ou x



Réponse : Fonction de wab51, postée le 15-02-2017 à 15:49:44 (S | E)
a lim f(x) en -inf et en +inf est 1. (exacts)
la lim f(x) en 1, x>1 ou x (où sont les limites ?)




Réponse : Fonction de hedoris, postée le 15-02-2017 à 16:01:56 (S | E)
Désolé, mon message a eu un problème.
Pour moi, lim f(x) quand x tend vers 1, est +inf.

Me manque-t-il autre chose ?

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Modifié par hedoris le 15-02-2017 16:02



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Modifié par hedoris le 15-02-2017 16:03



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Modifié par hedoris le 15-02-2017 16:03






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