Méthode de newton - equation f(x)=0
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Message de nate128 posté le 27-02-2015 à 19:25:03 (S | E | F)
Bonsoir !
J'ai un exercice de maths à faire et je ne comprends vraiment rien du tout, je ne sais pas comment faire. Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci pour vos réponses.
Voici l’énoncé :
Méthode de Newton : les fonctions dérivables sont assimilables à leur tangente, aux voisinage du point de tangence, à condition que le nombre dérivé ne varie pas trop sur ce voisinage.
Supposons que l’on ait identifié un intervalle I qui contient une solution, notée a, de l’équation f(x)=0, où f est une fonction dérivable. Prenons une valeur x0 dans d’intervalle I qui servira de première approximation de a.
(cf image) Lien internet
On construit une nouvelle approximation x1 de a de la façon suivante :
*on considère la tangente T0 au point de la courbe de f d’abscisse x0.
*x1 est l’abscisse du point d’intersection de T0 avec l’axe des abscisses.
On construit x2 en prenant pour valeur de départ x1 et en réitérant le procédé précédent.
Questions :
1. Soit f une fonction derivable sur I dont la dérivée ne s’annule pas sur I. Soit x0 appartient à I. Montrer que si l’on applique la méthode de Newton à f avec x0 comme valeur initiale, alors x1=x0- f(x0)/f’(x0)
2. Application. On cherche une approximation de racine de 5, solution de l’équation x^2-5=0. Soit f(x)= x^2-5, définie sur R.
(a)Soit x0=100. Calculer x1, puis calculez x2 en prenant x1 comme valeur de départ.
(b)Soit n appartient à N. Si l’on appelle xn la valeur de départ, montrer que la nouvelle approximation xn+1 de la solution de l’équation f(x)=0 obtenue par la méthode de Newton vérifie : xn+1 =1/2 ( xn + 5/xn)
(c) Par comparaison avec la valeur de racine de 5 donnée par votre calculatrice, en partant de x0=100, à partir de quelle valeur de n obtient-on que valeur absolue de (xn- racine de 5)
Message de nate128 posté le 27-02-2015 à 19:25:03 (S | E | F)
Bonsoir !
J'ai un exercice de maths à faire et je ne comprends vraiment rien du tout, je ne sais pas comment faire. Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci pour vos réponses.
Voici l’énoncé :
Méthode de Newton : les fonctions dérivables sont assimilables à leur tangente, aux voisinage du point de tangence, à condition que le nombre dérivé ne varie pas trop sur ce voisinage.
Supposons que l’on ait identifié un intervalle I qui contient une solution, notée a, de l’équation f(x)=0, où f est une fonction dérivable. Prenons une valeur x0 dans d’intervalle I qui servira de première approximation de a.
(cf image) Lien internet
On construit une nouvelle approximation x1 de a de la façon suivante :
*on considère la tangente T0 au point de la courbe de f d’abscisse x0.
*x1 est l’abscisse du point d’intersection de T0 avec l’axe des abscisses.
On construit x2 en prenant pour valeur de départ x1 et en réitérant le procédé précédent.
Questions :
1. Soit f une fonction derivable sur I dont la dérivée ne s’annule pas sur I. Soit x0 appartient à I. Montrer que si l’on applique la méthode de Newton à f avec x0 comme valeur initiale, alors x1=x0- f(x0)/f’(x0)
2. Application. On cherche une approximation de racine de 5, solution de l’équation x^2-5=0. Soit f(x)= x^2-5, définie sur R.
(a)Soit x0=100. Calculer x1, puis calculez x2 en prenant x1 comme valeur de départ.
(b)Soit n appartient à N. Si l’on appelle xn la valeur de départ, montrer que la nouvelle approximation xn+1 de la solution de l’équation f(x)=0 obtenue par la méthode de Newton vérifie : xn+1 =1/2 ( xn + 5/xn)
(c) Par comparaison avec la valeur de racine de 5 donnée par votre calculatrice, en partant de x0=100, à partir de quelle valeur de n obtient-on que valeur absolue de (xn- racine de 5)
Réponse: Méthode de newton - equation f(x)=0 de nate128, postée le 28-02-2015 à 12:51:33 (S | E)
Bonjour !
Merci pour votre réponse :D
Pour la a), j'ai trouvé x1=50,025 et x2= 25,0625
Pour la b), j'ai réussi à démontrer ce qui est demandé
Pour la c), j'ai utilisé la même méthode et je suis arrivée à x9-racinede5 =0,000002, donc j'imagine que c'est à x10 la réponse, non ?
Pour la 3, j'ai trouvé:
x1=1
x2=0
x3=1
x4=0
Du coup, on remarque que c'est 0 à x0, puis 1 à x1, puis 0 à x2, donc les xn pairs valent 0 et les xn impairs valent 1... est-ce que c'est bien ça ?
Merci d'avance ^^
Réponse: Méthode de newton - equation f(x)=0 de nate128, postée le 28-02-2015 à 13:26:47 (S | E)
En effet, la question 3 n'apparait pas mais je l'avais postée...
C'était :
3. On considère que cette fois l’équation x^3-2x+2=0 et la fonction g(x)= x^3-2x+2 de courbe représentative Cg dans un repère donné.
(a)Calculez les termes x1, x2, x3, x4, obtenus en prenant x0=0 et en appliquant la méthode de Newton à la fonction g. Que constatez-vous ?
(b)Illustrez ce phenomena grapiquement en représentant graphiquement la fonction g sur [-2 ;2] ainsi que les tangentes aux points de Cg d’abscisse x0 et x1 .
Réponse: Méthode de newton - equation f(x)=0 de nate128, postée le 28-02-2015 à 15:45:21 (S | E)
Merci :D je ne sais pas par contrer comment "illustrer ce phénomène graphiquement" ( dernière question), pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? ^^
Réponse: Méthode de newton - equation f(x)=0 de nate128, postée le 28-02-2015 à 19:10:30 (S | E)
Merci beaucoup pour votre aide, bonne soirée !
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