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    Calcul d'antécédents

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    Calcul d'antécédents
    Message de zac1 posté le 02-01-2010 à 11:33:55 (S | E | F)
    Bonjour a tous , J'ai un problème avec un petit exercice sur les antécédents , je ne sais pas du tout comment on doit calculer pour obtenir un antécédent, j'ai beau chercher des méthodes, je n'en comprend aucune !

    voici mon exemple :

    Soit F la fonction définir sur R par :
    f(x) = (2x+3)(2-x)

    la question est : déterminer les antécédents par F des réels 0 et 6 .

    Merci par avance , J'ai vraiment besoin d'aide




    Réponse: Calcul d'antécédents de fr, postée le 02-01-2010 à 12:23:04 (S | E)
    Bonjour,

    Connaissez-vous la définition d'un antécédent ?

    Les antécédents d'un réel y par une fonction f(x) sont les réels x qui vérifient f(x)=y (y donné)

    Ici, il convient de résoudre les équations :
    f(x)=0 et f(x)=6

    Ici, une fois f(x) remplacé par son expression donnée dans cet exercice, il s'agit de résoudre des équations du second degré.

    Pour f(x)=0, c'est simple (surtout ne développez pas f(x), car sous sa forme factorisée, les solutions apparaissent immédiatement ...)

    Pour f(x)=6, vous pouvez développer f(x), vous trouverez des racines évidentes ...





    Réponse: Calcul d'antécédents de taconnet, postée le 02-01-2010 à 12:34:02 (S | E)
    Bonjour.

    C'est une question de vocabulaire.

    Consirérons la fonction f telle que :

    f: x ──> f(x)

    On dit que :

    1- f(x) est l'image de x.
    2- x a pour antécédent de f(x).

    exemple :

    f: x ──> f(x) = x² + 2x - 4

    Quelle est l'image de -3 ?

    Il faut calculer f(-3)
    f(-3) = (-3)² + 2.(-3) - 4 = -1

    l'image de -3 est -1



    Quel est l'antécédent de -5 ?

    Cela signifie qu'il faut trouver un nombre a tel que :
    f(a) = -5

    Si ce nombre existe il doit donc être solution de l'équation* :
    a² + 2a - 4 = -5 <══> a² + 2a + 1 = 0 <══> (a + 1)² = 0 <══> a = -1

    l'antécédent de -5 est -1


    * Dans certains cas l'équation n'a pas de solution. Cela dépend de l'ensemble de définition de la fonction f.



    Réponse: Calcul d'antécédents de zac1, postée le 02-01-2010 à 12:39:53 (S | E)


    D'accord
    Donc si j'ai bien compris je dois faire :

    (2x+3)(2-x) = 0
    donc :

    (2x+3) = 0
    (2-x) = 0

    2x=-3
    -x=2

    x=1.5
    x=-2



    Réponse: Calcul d'antécédents de fr, postée le 02-01-2010 à 14:03:05 (S | E)
    Oui, c'est l'idée pour l'antécédent de 0, par contre, il y a des erreurs de signes à la fin ...

    si 2-x = 0, on a ...
    si 2x=-3, on a x= ... (a priori, il vaut mieux garder les fractions, sauf indications contraires)



    Réponse: Calcul d'antécédents de zac1, postée le 02-01-2010 à 14:17:42 (S | E)
    A oui , je me suis trompé

    c'est :
    (2-x)=0
    -x=-2
    x=2 .

    & pour 6 je fait :

    2x+3=6
    2-x=6

    2x=6-3
    -x=6-2

    2x=3
    -x=4

    2x/2 = 3x/2
    x=-4

    x=1.5
    x=-4

    C'est correct ?



    Réponse: Calcul d'antécédents de fr, postée le 02-01-2010 à 14:52:09 (S | E)
    Attention, pour résoudre (2x+3)(2-x)=0 on utilise la propriété suivante : pour qu'un produit de facteur soit nul il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul ... donc on arrive à 2 équations du premier degré.
    (x=2 est une des solutions, quelle est l'autre ? votre réponse était erronée aussi)

    Mais pour résoudre (2x+3)(2-x)=6 , les solutions ne sont pas données par (2x+3)=6 et (2-x)=6, car si 2x+3=6 on n'a pas (2-x) =1 et inversement si x-2=6 on n'a pas 2x+3=1...

    Vous avez (en quelque sorte) écrit la chose suivante : pour que A*B=6, il suffit que A ou B soit = 6 quel que soit la valeur de l'autre nombre ... (donc 6*B = 6 quel que soit B !!!)

    Non, ici il convient de résoudre (2x+3)(2-x)=6
    Pour cela, commencez par développer le premier membre de l'équation ...





    Réponse: Calcul d'antécédents de zac1, postée le 02-01-2010 à 16:16:00 (S | E)
    J'ai rectifié le calcul et les antécédents de 0 sont : -1.5 & 2 .

    pour 6 :

    (2x+3)(2-x)=6
    Je développe le 1er membre :

    (2x+3)(2-x)
    4x-2x²+6-3x
    -2x²+1x+6

    -2x²+1x+6 = 6
    -2x²+1x=0
    (-2x+x)² =0

    Je sais pas si c'est correct, je sais plus quoi faire après




    Réponse: Calcul d'antécédents de fr, postée le 02-01-2010 à 17:05:12 (S | E)
    C'est juste jusqu'à -2x²+1x=0 qui s'écrit aussi -2x²+x=0


    Là, on trouve facilement une racine évidente ... (ou un terme à mettre en facteur ...)

    (la dernière ligne est complètement fausse : vous ne pouvez pas déplacer le ² comme cela ...)



    Réponse: Calcul d'antécédents de zac1, postée le 02-01-2010 à 18:04:22 (S | E)
    a d'accord !

    mais après : -2x²+x=0

    Je ne sais plus quoi faire pour obtenir les antécédents :s



    Réponse: Calcul d'antécédents de fr, postée le 02-01-2010 à 18:13:15 (S | E)
    N'y a-t-il pas un terme que l'on peut mettre en facteur ?



    Réponse: Calcul d'antécédents de zac1, postée le 02-01-2010 à 18:25:08 (S | E)
    x peut être ?



    Réponse: Calcul d'antécédents de fr, postée le 02-01-2010 à 20:32:30 (S | E)
    Oui, c'est bien cela on a donc -2x²+x = x*(...)



    Réponse: Calcul d'antécédents de zac1, postée le 02-01-2010 à 20:58:46 (S | E)
    -2x²+x = x*0 ?
    Sinon il est passé ou le 0 ? Il est remplacé par le x ? mais pk on double le x ?


    -------------------
    Modifié par zac1 le 02-01-2010 23:03


    Je crois avoir trouvé la solution :
    Je factorise : -2x²+x
    ce qui donne : (x)(2x-1)

    je résous ensuite : 2x-1=0
    2x/2 = -1/2
    x=-0.5

    l'antécédent de 6 est -0.5



    Réponse: Calcul d'antécédents de fr, postée le 03-01-2010 à 12:54:03 (S | E)
    Bonjour,

    c'est presque bon : on a : -2x²+x = x(-2x+1)

    et x(-2x+1) = 0 si et seulement si x=0 ou (-2x+1)=0 (on utilise à nouveau la règle : un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul)

    Or on a bien (-2x+1) = 0 <=> 2x-1 = 0

    par contre, 2x-1 = 0 ne donne pas x=-1/2 (en effet, pour x=-1/2, 2x-1=2*(-1/2)-1 = -2/2-1 = -1-1 = -2 )

    Vous pouvez vérifier les résultats obtenus en les remplaçant dans l'expression initiale (2x+3)(2-x) et en calculant f(x) pour x solution ... si vous obtenez 6, c'est bon

    Attention, autant une fonction n'a qu'une image autant on parle de plusieurs antécédents d'un réel par une fonction, car la fonction peut avoir plusieurs fois la même valeur pour des x différents (c'est la cas ici).
    Certaines fonctions n'ont pas d'antécédent pour une valeur particulière, cela signifie respectivement que la fonction ne passe jamais par cette valeur ...
    Plus généralement il peut y avoir 0, 1, 2, ..., n ou une infinité d'antécédents d'un réel par une fonction, cela signifie que la fonction passe 0, 1, 2, ..., n ou une infinité de fois par cette valeur ...

    Chercher les antécédents d'un réel par une fonction revient à chercher l'ensemble des x pour lesquels f(x) vaut ce réel...

    Pour les antécédents de 0, on avait également 2 valeurs : -3/2 et 2
    Pour les antécédents de 6 on a donc les valeurs : ... et ...





    Réponse: Calcul d'antécédents de zac1, postée le 03-01-2010 à 13:11:14 (S | E)
    Bonjour, merci beaucoup tout d'abord !
    Donc j'ai :

    -2x²+x = x(-2x+1)

    et x(-2x+1) = 0 si et seulement si x=0 ou (-2x+1)=0 (on utilise à nouveau la règle : un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul)


    2x-1 = 0
    2x=1
    2x/2=1/2
    x=1/2

    pour vérifier je remplace dans l'expression : 2*0.5-1 = 0.
    par contre je ne sais pas pourquoi on prend l'expression " 2x-1 " et non " -2+1 ".

    & je trouve qu'un seul antécédent pour 6, uniquement 0.5. A moins que 0 puisse être un antécédent



    Réponse: Calcul d'antécédents de fr, postée le 03-01-2010 à 13:21:38 (S | E)
    En effet x=0 est aussi un antécédent, car si x=0, on a bien -2x²+1=0

    On peut prendre -2x+1 = 0 ou 2x-1 = 0 , on a simplement multiplier les 2 membres de l'équation par -1 (or 0*-1 = 0, donc le second membre reste nul)
    Mais on peut aussi résoudre -2x+1 = 0 <=> -2x=-1 <=> x=-1/-2 <=> x=1/2

    Je vous conseille de vérifier vos résultats avec l'expression initiale, cela permet de vérifier si vous ne vous êtes pas trompé dans vos calculs ...

    Ici : f(x)=(2x+3)(2-x)

    donc f(0)=(2*0+3)(2-0) =3*2 = 6 donc 0 est bien antécédent de 6 par f
    et f(1/2)=(2*1/2+3)(2-1/2) = ... (je vous laisse continuer ...)



    Réponse: Calcul d'antécédents de zac1, postée le 03-01-2010 à 13:27:26 (S | E)
    Merci beaucoup !

    f(1/2)=(2*1/2+3)(2-1/2) = 4 * 1.5 = 6 .

    Donc les antécédents de 6 sont 1/2 & 0 .

    Merci beaucoup beaucoup



    Réponse: Calcul d'antécédents de fr, postée le 03-01-2010 à 13:29:35 (S | E)
    De rien




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