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Formules de trigonométrie (1ère S)

Relation fondamentale:

Pour tout a réel, cos²a+sin²a=1

I-Formules d'addition

Pour tous réels a et b,

cos (a+b) = cosa cosb - sina sinb

cos (a-b) = cosa cosb + sina sinb

sin (a+b) = sina cosb + sinb cosa

sin (a-b) = sina cosb - sinb cosa

II-Formules de duplication

cos (2a) = cos²a - sin²a = 2cos²a-1 = 1-2sin²a

sin (2a) = 2 sina cosa

Remarque : Ces formules peuvent être retrouvées grâce aux formules d'addition en prenant a = b

Exemple : cos (2a) = cos (a+a)= cosa cosa - sina sina = cos²a - sin²a = cos²a - (1-cos²a) = 2cos²a -1 (d'après la formule fondamentale)

III- Applications

Considérons un triangle quelconque ABC dont les côtés sont notés : a=BC ; b=AC ; c=AB et les angles A ; B ; C

Les formules d'Al kashi sont les suivantes:

a²=b²+c² - 2bc cos A

b²=a²+c² - 2ac cos B

c²=a²+b² - 2ab cos C

Son aire S vaut :

S= (1/2)bc sin A = (1/2)ac sin B = (1/2)ab sin C

Dans le QCM suivant il est conseillé de se munir d'un brouillon et nécessaire de connaître les sinus et cosinus de certaines valeurs remarquables.

Avancé
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En remarquant que Pi/12= (Pi/3)-(Pi/4), calculer 4 cos (Pi/12) ? racine(6)-racine(2)racine(2)+racine(6)racine(2)-racine(6)
Que vaut 4 sin (Pi/12) ? racine(2)+racine(6)racine(6)-racine(2)racine(2)-racine(6)
Pour tout a réel, que vaut sin (3a) ? 3sin(a)-4sin³(a)2sin(a)-3sin³(a)3sin(a)+4sin²(a)
Factoriser l'expression 1 + sin(x) - cos(2x) sin(x)[1+2sin(x)]cos(x)[1+2sin(x)]sin(x)[1+2cos(x)]
Soit ABC un triangle tel que a=15m ; b=7m ; c=20m ; Que vaut l'angle A du triangle ABC ? (on s'aidera d'une calculatrice) Environ égal à 47°Environ égal à 57°Environ égal à 37°
Que vaut l'angle B du triangle ABC ? (on s'aidera d'une calculatrice)Environ égal à 16°Environ égal à 19°Environ égal à 23°
Que vaut l'angle C du triangle ABC ? (on s'aidera d'une calculatrice)Environ égal à 130°Environ égal à 140°Environ égal à 127°
Dans la suite, A ; B ; C sont les angles d'un triangle ABC quelconque. Que vaut sin A + sin B + sin C ? cos(A/2)sin(B/2)cos(C/2)4cos(A/4)cos(B/4)cos(C/4)4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
Que vaut sin²A + sin²B + sin²C ? 2(1+sinA cos B cos C)2(1+cosA cosB cosC)2(1+sinA sinB sinC)
Que vaut sin 2A + sin 2B + sin 2C ? 4 sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2)4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)4 sinA sinB sinC