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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°48931: Fonction logarithme népérien - cours

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    Fonction logarithme népérien - cours


    La fonction logarithme népérien a d'abord été fabriquée pour simplifier les calculs fastidieux des ingénieurs et des physiciens avant l'invention des calculatrices et ordinateurs (voir le test n°48843)


    La fonction logarithme népérien est aujourd'hui définie, - soit comme fonction réciproque de la fonction exponentielle (comme en TS), - soit comme primitive de la fonction inverse qui s'annule en 1 (comme en TES)


    La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive de la fonction inverse, , sur l'intervalle ]0; +∞[, qui s'annule en 1

    conséquences: ln 1=0 ET ln est définie et dérivable sur l'intervalle ]0; +∞[; la dérivée de ln est la fonction inverse


    Variations et courbe

    • La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle ]0; +∞[ car sa dérivée est strictement positive sur cet intervalle
    • La tangente au point de coordonnées (e, 1) a pour coefficient directeur ln'(1)=1; son équation réduite est y=x-1
    • L'équation ln x=1 admet une solution unique dans ℝ cette solution est un irrationnel que l'on note e
    • tracé de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien et de la tangente au point de coordonnées (0; 1)



    la fonction logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle

    pour tout x dans ℝ,

    pour tout x>0,


    propriétés algébriques: Pour tous X>0, Y>0 et y réel, on a

    et

    et et





    Avancé

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    1° L'équation admet pour unique solution


    2° La fonction f définie par a pour ensemble de définition


    3° L'ensemble des solutions de l'équation est


    4° On considère la fonction f définie par
    a) La fonction dérivée de f est définie par f '(x)=

    b) La tangente au point d'abscisse a=1 de la courbe de f a pour coefficient directeur


    5° a) pour tout x appartenant à
    b) pour tout x appartenant à


    6° Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que l'inéquation admet l'intervalle ]2; + ∞ [ comme ensemble solution ?









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