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Fonction inverse et variations - cours

Définition d'une fonction strictement décroissante sur un intervalle

Lorsque pour tous a et b de l'intervalle, les images de a et de b sont rangés dans l'ordre inverse de a et b, on dit que la fonction est décroissante sur l'intervalle considéré.

Étude de la fonction inverse

La fonction inverse est définie sur l'ensemble des réels privé de 0; on peut donc étudier le sens de variations sur chacun des intervalles ]-∞ ;0 [ et ]0; +∞[

On considère donc deux nombres a et b non nuls et de même signe et on calcule la différence entre les inverses.

• lorsque , le produit ab est strictement positif et a-b et b-a ont des signes contraires. Donc , c'est-à dire les inverses de deux nombres strictement positifs sont rangés dans l'ordre inverse
• lorsque , le produit ab est strictement positif et a-b et b-a ont des signes contraires. Donc , c'est-à dire les inverses de deux nombres strictement négatifs sont rangés dans l'ordre inverse

conclusion: la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0; +∞[ et aussi strictement décroissante sur ]-∞;0[ mais pas sur l'ensemble des nombres réels non nuls.

On peut vérifier sur la courbe que les inverses de a et b strictement positifs sont dans l'ordre inverse et que les inverses de deux nombres strictement négatifs sont aussi dans l'ordre inverse

Exemple: 2 et 3 sont positifs et rangés dans l'ordre: 2 < 3
les inverses de deux nombres positifs sont dans l'ordre inverse et on peut vérifier que:

Autre exemple: -2 et -3 sont négatifs et rangés dans l'ordre: -3 < -2
les inverses de deux nombres négatifs sont dans l'ordre inverse et on peut vérifier que:

Retenir les inverses de deux nombres non nuls et de même signe sont dans l'ordre inverse

Attention aux cas où les nombres n'ont pas le même signe:
-2 < 5; l'un est négatif l'autre positif et l' inverse d'un nombre a le même signe que le nombre donc les inverses sont rangés dans le même ordre; c'est pourquoi la fonction inverse n'est pas décroissante sur l'ensemble R privé de 0, ni sur la réunion des deux intervalles ]-∞ ;0 [ et ]0; +∞[.

Intermédiaire
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1°) 5 et 0.5 sont positifsnégatiifs et rangés dans l'ordre: 5 =>< 0.5
Les inverses de deux nombres non nuls et de signe contrairemême signe sont rangés dans l'ordre supérieurinférieurinverse
donc 1/5 =>< 1/ 0.5

2°) a et b désignent ici des nombres non nuls:
si b < 0 et si a < b, alors on peutne peut pas ordonner les inverses et 1/a <>=? 1/b
si 0 < b et si a > b, alors on ne peut paspeut ordonner leurs inverses et 1/a <>=? 1/b
si 0 < b et si a < b , alors on peutne peut pas ordonner leurs inverses et 1/a =?>< 1/b

3°) La fonction inverse estn'est pas décroissante sur ]-∞; 0[∪]0; +∞[
La fonction inverse n'est pasest décroissante sur ]-0.0002; 2[
La fonction inverse n'est pasest décroissante sur ]10^-3; 10³[