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Fonction avec exponentielles (Terminale)

La fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien

Rappels:

• La fonction exponentielle est définie sur R, dérivable sur R, strictement croissante sur R

sa fonction dérivée est égale à elle-même: exp'=exp

exp(0) = 1 et exp(1) = e

Pour tout x réel, avec e peu différent de 2.71828

pour tout réel x, exp(x)>0

• La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[, dérivable sur ]0; +∞[, strictement croissante sur ]0; +∞[

Sa fonction dérivée est la fonction inverse

ln 1 = 0 et ln e = 1

• Ces deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre :

pour tout x réel,

pour tout x>0, exp(ln(x))=

• Ci dessous on donne la courbe de la fonction exponentielle, la courbe de la fonction logarithme népérien et la droite d'équation y=x

• propriétés algébriques (exponentielles): pour tout x et y réels, on a

• propriétés algébriques (logarithmes): pour tout x et y réels strictement positifs, et tout réel r on a

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On considère la fonction définie sur R par =e^2x - e^x
1° calcul de
ln(9)ln(1/6)ln(1/9)
alors
=e^{2 ln(1/3)} - e^ln(1/3)=1/691/9 - 1/31/23 = -2/961/3

2° calcul de l'image de ln(1/9) :
=exp(ln(2/9)ln(1/81)ln(1/18)) - exp(ln(1/9)ln(1/6)ln(1/3))= -8/81exp(1/9)ln(1/9)

3° la fonction dérivée est définie par ' (x)= exp(x)2 exp(x²)-exp(x)2 exp(2x)-exp(x)
on peut factoriser l'expression de la dérivée et ' (x)= exp(x) (2 exp(x)-1)exp(x²) (exp(x)-1)faux, on ne peut pas factoriser
La dérivée s'annule en x=(1/2) ln 2exp(1/2)- ln 2

4° On peut factoriser l'expression de et on trouve =exp(x) (exp(2x)-1)faux, on ne peut pas factoriserexp(x) (exp(x)-1)

5° La courbe de coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (0;1)(0; 0)(1;0)