Factorisation (3ème / 2nde )

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Factorisation (3ème / 2nde ) - cours

                           Développer un produit c'est le transformer en une somme.
                                      $(x + 1)(x - 3) = {x^2} - 2x - 3\mathbf{}$
                        $(x + 1)(x - 3)\mathbf{}$ est un produit de deux facteurs     $(x + 1)$ et $(x - 3)$
                        ${x^2} - 2x - 3\mathbf{}$     est une somme de trois termes    ${x^2\mathbf{}}$ , $-2x\mathbf{}$ et $-3\mathbf{}$
                           Factoriser une somme c'est la transformer en un produit.
                                                       $4{x^3} - 8{x^2} + 4x = 4x {(x -\mathbf{} 1)^2}$
                                      $4{x^3} - 8{x^2}+ 4x\mathbf{}$ est une somme de trois termes
                                         $4x{(x - 1)^2\mathbf{}}$    est un produit de quatre facteurs
Remarques
     ${x^2} - 16 = (x + 4)(x - 4)\mathbf{}$                                      ${x^2} + 16\mathbf{}$ ne se factorise pas     (dans $\mathbb{R}$ )
${x^2} - 2x + 1$    est le développement de      ${(x - 1)^2}$
${x^2} -2x - 1\mathbf{}$   : on ne peut pas utiliser un produit remarquable,     ${x^2\mathbf{}}$ et -1 n'ont pas le même signe
$1 + 4x - 4\mathbf{}{x^2}$ : même remarque
Autre situation:
Soit à factoriser    $(x - 2)(x + 3) - 6(x - 1)\mathbf{}$
aucune des méthodes indiquées dans le cours n'est utilisable. Dans ce cas on peut essayer de développer.
$(x - 2)(x + 3) - 6(x - 1)\mathbf{}$ = ${x^2} + 3x - 2x - 6 -6x + 6\mathbf{}$ =   ${x^2 - 5x}$    = $x(x - 5)\mathbf{}$

                         Savoir factoriser est utile pour la suite du programme.
                     Un usage important est la résolution de certaines équations.
Pour factoriser il faut s'entraîner à reconnaître les cas classiques (parfois un peu camouflés).

Vous trouverez tous les calculs après la correction.

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1.
      somme ou produit?              nombre de termes ou de facteurs
$3x - 7\mathbf{}$
$2(x + 1)(2x - 3)$
$4{x^2}(2x - 9)\mathbf{}$
$5(x + 2) - 3x\mathbf{}$
$x(-2x + 3) - 3x + 5\mathbf{}$
${x^3}{(x - 3)^2\mathbf{}}$

2.
Peut-on factoriser ?
${x^2} + 1\mathbf{}$
$- 9 + 4{x^2\mathbf{}}$
$- {(x + 2)^2} + {(2x - 3)^2}$
${(x - 2)^2} + {(- 5x + 2)^2}$
$-16 + \mathbf{}{x^4}$

3.
Une forme factorisée de est
$(2x + 3)(x - 1) - {(x - 1 )^2}$

$9{x^2} - 16 + 3x - 4\mathbf{}$

$3 - 4x + (2x - 3)(4x - 3)\mathbf{}$

$(2x - 5)(- 2x + 3) + 4{x^2} - 20x + 25\mathbf{}$

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