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Equations de plans de l'espace - cours

L'espace est muni d'un repère orthonormé

1. Équations de plans de l'espace

Dans l'espace, tout plan admet une équation du type ax+by+cz=d où a, b, c et d sont des constantes réelles telles que , b et c ne soient pas tous nuls

et réciproquement, toute équation de ce type est associée à un plan

Cas particuliers:

Si a=0, alors le plan est parallèle à l'axe des abscisses

Si b=0, le plan est parallèle à l'axe des ordonnées

Si c=0, le plan est parallèle à l'axe des cotes

Exemples: ci dessous, on a représenté un cube en perspective cavalière

est un repère orthonormé de l'espace

Dans ce repère, le plan de base (xOy) contient la face ABCD du cube; ce plan a pour équation z=0 (il est parallèle à (Ox) donc a=0; il est parallèle à (Oy) donc b=0; il contient l'origine A(0; 0; 0) donc d=0)

Le plan parallèle à (xOy) qui contient la face EFGH a pour équation z=1 (il est parallèle à (Ox) donc a=0; il est parallèle à (Oy) donc b=0; il contient G(1; 1; 1) donc c=d )

Le plan (CDH), parallèle au plan de base (xOz), a pour équation y=1 (il est parallèle à (Ox) donc a=0; il est parallèle à (Oz) donc c=0; il passe par H(0;1;1) donc b=d )

Le plan (ACG) a pour équation x-y=0 (il est parallèle à (Oz) donc c=0; il contient A(0; 0; 0), C(1; 1; 0), G(1; 1; 1), E(0; 0; 1), S(1; 1; 3/2) ... )

Le plan parallèle au plan (ACG) passant par R(0; 2; 1) a pour équation x-y=-2

2. Position relative de deux plans de l'espace

Deux plans sont:
- soit parallèles (strictement parallèles ou bien confondus)
- soit sécants et leur intersection est une droite

Les pages d'un livre ouvert peuvent représenter des plans sécants

L'intersection de deux plans dans l'espace peut être :
- un plan (dans le cas où les plans sont confondus)
- une droite (dans le cas où les plans sont sécants)
- l'ensemble vide (dans le cas où les plans sont strictement parallèles)

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L'ensemble des points vérifiant l'équation est une droiteun planla réunion de deux droites coupant l'axe des abscisses au point A(3; 0; 0)A(0; -2; 0)A(0; 0; 6), coupant l'axe des ordonnées au point B(2; 0; 2)B(0; 0; 6)B(0; -2; 0) et coupant l'axe des cotes au point C(0; -2; 0)C(5; 8; 2)C(0; 0; 6)

L'ensemble (E) des points vérifiant l'équation est la réunion de deux droitesune droiteun plan L'intersection de (E) avec l'axe des abscisses est l'ensemble videle point D(3; 1; 0)le point D(3; 0; 0)une droite et l'intersection de (E) avec l'axe des ordonnées est l'ensemble videle point F(1; 0; 4)une droite

L'ensemble des points vérifiant le système est une droiteun plan parallèle au plan (xOz)réduit à un point

L'ensemble des points vérifiant l'équation est un planune droite parallèle à (xOy)une droite parallèle à (Oz)

L'ensemble des points vérifiant le système est une droiteun planréduit à un point