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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°45109: Équations de degré 2 (niveau Première) - cours

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    Équations de degré 2 (niveau Première) - cours


    I. Une équation de degré 2, d'inconnue x, sous forme développée,

    s'écrit ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres connus avec a≠0


    Résoudre dans ℝ une équation d'inconnue x, c'est trouver les solutions réelles, c'est-à-dire les valeurs des réels x qui rendent l'égalité correcte.

    Exemple: 3x² - 2x - 5 = 0 est une équation de degré 2.

    • En remplaçant x par 1 dans 3 x² - 2x - 5, on obtient - 4.

    Le nombre 1 ne rend pas l'égalité correcte.
    Donc 1 n'est pas une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0

    • Tandis que, en remplaçant x par - 1 dans 3x² - 2x - 5, on obtient 0.

    Le nombre - 1 rend l'égalité correcte.
    Donc - 1 est une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0

    II. RÉSOUDRE l'ÉQUATION de degré 2,

    ax²+ bx + c = 0 avec a≠0

    procédure

    On calcule le DISCRIMINANT b² - 4ac, noté souvent Δ, puis il suffit de regarder le signe de Δ et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure :

    Δ = b²-4ac

    si Δ > 0 (son signe est +)

    on peut conclure :

    l'équation a deux solutions réelles

    calcul de ces solutions:

    Δ, positif, est le carré d'un nombre, soit Δ = r²

    si Δ = 0

    on peut conclure :

    l'équation a une solution unique réelle

    calcul de cette solution:


    si Δ < 0 (son signe est -)

    on peut conclure :

    l'équation n'a aucune solution réelle

    Exemples:


    a) x² + x + 1 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = - 3; Δ est négatif et non nul.

    Donc l'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solution dans ℝ

    b) - x² + x + 30 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = 1² - 4(-30) = 121;

    Δ est positif non nul, et Δ est le carré de 11.

    Donc l'équation - x² + x + 30 = 0 admet 2 solutions dans ℝ

    Calcul de ces solutions :


    donc l'équation - x² + x + 30 = 0 a pour solutions - 5 et 6

    III. CAS PARTICULIERS

    Dans certains cas, il n'est PAS UTILE de CALCULER Δ

    Exemple 1:

    x² - 5x = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre x² - 5x.

    x² - 5x = x(x - 5) quelle que soit la valeur donnée à x

    donc les solutions de x² - 5x = 0 sont identiques aux solutions de x(x - 5) = 0

    On dit que les équations x² - 5x = 0 et x(x - 5) = 0 sont équivalentes.

    On peut alors appliquer le théorème d'un produit de facteurs égal à 0

    'L'un des facteurs est nul'

    donc x = 0 ou x - 5 = 0 et il n'y a pas d'autre solution.

    Les nombres 0 et 5 sont donc les seules solutions de l'équation x² - 5x = 0

    Exemple 2:

    169 - x² = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre 169 - x².

    169 - x² = 13² - x² = (13 - x)(13 + x) quelle que soit la valeur donnée à x

    donc l'équation 169 - x² = 0 est équivalente à (13 - x)(13 + x) = 0

    'L'un des facteurs est nul'

    d'où les nombres 13 et - 13 sont les seules solutions de l'équation 169 - x² = 0

    Exemple 3:

    16 + x² = 0 est une équation de degré 2 et on ne sait pas FACTORISER le membre 16 + x².

    L'équation 16 + x² = 0 est équivalente à x² = - 16

    'Le carré d'un réel est positif ou nul'

    d'où l'équation 16 + x² = 0 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels

    Exemple 4:

    - 2x² + 16x - 32 = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre - 2x² + 16x - 32.

    - 2x² + 16x - 32 = - 2(x² - 8x + 16) = - 2 (x - 4)² quelle que soit la valeur donnée à x

    Ici on a reconnu une identité remarquable : 'a² - 2ab + b² = (a - b)²'

    donc l'équation -2x² + 16x - 32 = 0 est équivalente à -2(x - 4)² = 0

    'L'un des facteurs est égal à 0'

    seul l'un des facteurs (x - 4) peut être égal à 0; donc x = 4 et il n'y a pas d'autre solution.

    Le nombre 4 est donc la seule solution de l'équation -2x² + 8x - 32 = 0

    Remarque: si on avait calculé le discriminant de - 2x² + 16x - 32, on aurait trouvé Δ = 0.

    Retenir: à chaque fois que l'on obtient pour discriminant 0, on aurait pu factoriser !





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    Le polynôme x² - 5x + 4 a pour discriminant
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    L'équation 2x² - 5x - 7 = 0 a pour solutions
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