> Plus de cours et d'exercices de maths (mathématiques) sur le même thème: Equations [Autres thèmes]
	> Tests similaires: - Fonction et ensemble de définition - Equations 1er degré - Equation du second degré - Matrices (1-Addition) - Solutions complexes d'une équation de degré 2 - Equations équivalentes - Le second degré - Racines d'un polynôme
	> Double-cliquez sur n'importe quel terme pour obtenir une traduction...

Équations de degré 2 (niveau Première) - cours

I. Une équation de degré 2, d'inconnue x, sous forme développée,

s'écrit ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres connus avec a≠0

Résoudre dans ℝ une équation d'inconnue x, c'est trouver les solutions réelles, c'est-à-dire les valeurs des réels x qui rendent l'égalité correcte.

Exemple: 3x² - 2x - 5 = 0 est une équation de degré 2.

• En remplaçant x par 1 dans 3 x² - 2x - 5, on obtient - 4.

Le nombre 1 ne rend pas l'égalité correcte.
Donc 1 n'est pas une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0

• Tandis que, en remplaçant x par - 1 dans 3x² - 2x - 5, on obtient 0.

Le nombre - 1 rend l'égalité correcte.
Donc - 1 est une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0

II. RÉSOUDRE l'ÉQUATION de degré 2,

ax²+ bx + c = 0 avec a≠0

procédure

On calcule le DISCRIMINANT b² - 4ac, noté souvent Δ, puis il suffit de regarder le signe de Δ et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure :

Exemples:

a) x² + x + 1 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = - 3; Δ est négatif et non nul.

Donc l'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solution dans ℝ

b) - x² + x + 30 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = 1² - 4(-30) = 121;

Δ est positif non nul, et Δ est le carré de 11.

Donc l'équation - x² + x + 30 = 0 admet 2 solutions dans ℝ

Calcul de ces solutions :

donc l'équation - x² + x + 30 = 0 a pour solutions - 5 et 6

III. CAS PARTICULIERS

Dans certains cas, il n'est PAS UTILE de CALCULER Δ

Exemple 1:

x² - 5x = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre x² - 5x.

x² - 5x = x(x - 5) quelle que soit la valeur donnée à x

donc les solutions de x² - 5x = 0 sont identiques aux solutions de x(x - 5) = 0

On dit que les équations x² - 5x = 0 et x(x - 5) = 0 sont équivalentes.

On peut alors appliquer le théorème d'un produit de facteurs égal à 0

'L'un des facteurs est nul'

donc x = 0 ou x - 5 = 0 et il n'y a pas d'autre solution.

Les nombres 0 et 5 sont donc les seules solutions de l'équation x² - 5x = 0

Exemple 2:

169 - x² = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre 169 - x².

169 - x² = 13² - x² = (13 - x)(13 + x) quelle que soit la valeur donnée à x

donc l'équation 169 - x² = 0 est équivalente à (13 - x)(13 + x) = 0

'L'un des facteurs est nul'

d'où les nombres 13 et - 13 sont les seules solutions de l'équation 169 - x² = 0

Exemple 3:

16 + x² = 0 est une équation de degré 2 et on ne sait pas FACTORISER le membre 16 + x².

L'équation 16 + x² = 0 est équivalente à x² = - 16

'Le carré d'un réel est positif ou nul'

d'où l'équation 16 + x² = 0 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels

Exemple 4:

- 2x² + 16x - 32 = 0 est une équation de degré 2 et on sait FACTORISER le membre - 2x² + 16x - 32.

- 2x² + 16x - 32 = - 2(x² - 8x + 16) = - 2 (x - 4)² quelle que soit la valeur donnée à x

Ici on a reconnu une identité remarquable : 'a² - 2ab + b² = (a - b)²'

donc l'équation -2x² + 16x - 32 = 0 est équivalente à -2(x - 4)² = 0

'L'un des facteurs est égal à 0'

seul l'un des facteurs (x - 4) peut être égal à 0; donc x = 4 et il n'y a pas d'autre solution.

Le nombre 4 est donc la seule solution de l'équation -2x² + 8x - 32 = 0

Remarque: si on avait calculé le discriminant de - 2x² + 16x - 32, on aurait trouvé Δ = 0.

Retenir: à chaque fois que l'on obtient pour discriminant 0, on aurait pu factoriser !

Avancé
Exercice de maths (mathématiques) 'Équations de degré 2 (niveau Première) - cours' créé par iza51 avec Le générateur de tests - créez votre propre test!
Voir les statistiques de réussite de ce test de maths (mathématiques) [Sauvegarder] [Charger] [?]

Le polynôme x² - 5x + 4 a pour discriminant 9+ 41- 41
L'équation x² - 5x + 4 = 0 a pour ensemble de solutions l'ensemble vide{1; 4}{5 + rac(41); 5 - rac(41)}
Le polynôme x² - 5x a pour discriminant 02521
Le polynôme 2x² - 5x - 7 a pour discriminant 810- 31
L'équation 2x² - 5x - 7 = 0 a pour solutions seulement - 1- 1 et 7/2aucune
L'équation x² - 6x + 8 = 0 a pour solutions - 2 et - 42 et - 42 et 4
L'équation x² + 1 = 0 admet 012 solution(s)
L'équation x² = x - 2 admet-elle exactement deux solutions réelles distinctes ? nonouion ne peut pas savoir
L'équation 4- x² = 2x² + x - 2 admet-elle exactement deux solutions réelles distinctes ? ouinonon ne peut pas savoir
Le nombre d'or, , est-il la seule solution positive de l'équation x² = x + 1 ? ouinonon ne peut pas savoir