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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°27268 : Ensembles de nombres (niveau Seconde) - cours

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    Ensembles de nombres (niveau Seconde) - cours


    1-Entiers naturels

    L'ensemble des entiers naturels (c'est-à-dire positifs) est noté N

    N = ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... )

    L'ensemble N est stable pour l'addition et la multiplication : cela signifie que si j'additionne ou multiplie deux entiers naturels quelconques, le résultat sera encore un entier naturel.

    N n'est pas stable pour la soustraction : par exemple 2-3 = -1 n'est pas dans N.



    2-Entiers relatifs

    L'ensemble des entiers relatifs est noté Z

    Z = ( ... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... )

    L'ensemble Z est stable pour l'addition, la soustraction et la multiplication.

    Tout entier naturel est un entier relatif. Z contient donc N : on dit que N est inclus dans Z.

     

    3-Nombres décimaux

    -Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire comme quotient d'un entier relatif par une puissance d'exposant positif de 10 :

    Un nombre est décimal s'il peut s'écrire a/10n, a appartenant à Z et n à N.

    Exemples : 34,8 (= 348/10) ; -0,65 (= -65/100) ; 2 (= 2/1) sont des nombres décimaux.

    L'ensemble des nombres décimaux est noté D.

    Tout nombre relatif est un nombre décimal ; donc D contient Z. (Z est inclus dans D)

    L'ensemble D est stable pour l'addition, la soustraction et la multiplication.
    -écriture décimale : La partie décimale compte un nombre fini de chiffres non nuls.

    partie entière (237) ---> 237, 459 6 <--- partie décimale (0,459 6)

    -écriture scientifique : C'est l'écriture sous forme du produit

    • d'un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule
    • et d'une puissance de 10 (d'exposant entier relatif)

    Exemples : 38 = 3,8 x 10 ; 0,0562 = 5,62 x 10-2 ; - 97631 = - 9,763 1 x 104

     

    4-Nombres rationnels

    Ce sont les quotients d'un entier relatif par un entier naturel non nul. (exemples : 3/7 ; -11/39 ; ...)

    L'ensemble des nombres rationnels est noté Q.

    Tout nombre décimal est un nombre rationnel ; Q contient D.

    (certains rationnels, pas tous, ont une écriture décimale : par exemple 1/4 = 0,25 est un décimal, mais pas 9/7)

    L'ensemble Q est stable pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division (sauf par 0)

    -développement décimal illimité : La partie décimale d'un nombre rationnel non décimal compte une infinité de chiffres non nuls. Dans cette partie décimale, une même séquence de chiffres se répète indéfiniment :

    Exemple : 9/7 = 1, 285714 285714 285714 28...(la division ne s' arrête jamais)

     

    5-Nombres réels

    L'ensemble des nombres réels est noté R.
    Les réels non rationnels sont appelés irrationnels.
    (√2 par exemple est irrationnel : on ne peut pas l'écrire sous forme d'un quotient d'entiers)

    Tout nombre rationnel est un nombre réel ; R contient Q.

    L'ensemble R est stable pour l'addition, la soustraction, la multiplication, la division sauf par 0.

    De plus la racine carrée de tout réel positif est dans R.

    -développement décimal illimité : La partie décimale d'un irrationnel compte une infinité de chiffres non nuls. Elle n'est pas formée d'une séquence de chiffres se répétant. (Pi = 3,1415926535......)

    -Tout réel est l'abscisse d'un point d'une droite munie d'un repère (origine, unité, sens) et inversement tout point d'une droite graduée a pour abscisse un réel.


    Maintenant, trouvez le plus 'petit' ensemble qui convient : N ; Z ; D ; Q ; ou R .(le signe '/' signifie un trait de fraction)





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    339/113 appartient à

    103 appartient à

    2-1 appartient à

    1/2 + 1/3 + 1/6 appartient à

    racine carrée de 12 appartient à

    racine carrée de 12/ racine carrée de 75 appartient à

    racine carrée de 25/racine carrée de 9 appartient à

    2 Pi appartient à

    10,4 appartient à

    racine carrée de 49 appartient à









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