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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°88209 : Dérivation

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    Dérivation


    I) Dérivation

    1) Taux de variation

    Définition: On appelle taux de variation de f entre a et a+h le nombre [f(a+h)-f(a)] /h

    2) Nombre dérivé en a

    Définition:

    On dit que f est dérivable en a si le taux de variations de f entre a et a+h admet une limite finie quand h tend vers 0

    Le nombre dérivé d'une fonction f en a est la limite quand h tend vers 0 du taux de variation de f entre a et a+h

                      Ce nombre se note f '(a).


    3) Tangente à une courbe représentative d'une fonction dérivable

    a) Graphiquement

    Définition: Soit f une fonction dérivable sur I et C sa courbe représentative.

                      La tangente à Cf au point d'abscisse a est la droite passant par le point A et de coefficient directeur f '(a)

    b) Equation de la tangente               

    Propriété: L'équation de la tangente à la courbe au point A de coordonnées A(a;f(a)) peut-être donnée sous la forme : y=f '(a)(x-a)+f(a)       

    II) Fonction dérivée

    1) Définition:

    Soit une fonction définie sur une intervalle I et dérivable en toute valeur x de I

    La fonction qui, à tout x, associe le nombre f '(x), est appelée fonction dérivée de f. On la note f'. Son ensemble de définition est noté Df'

    2) Dérivation

    f(x)
    f '(x)
    Df '
    k (constante)
    0
    ]-∞;+∞[
    x
    1
    ]-∞;+∞[
    ax+b
    a
    ]-∞;+∞[

    2x
    ]-∞;+∞[

    3x²
    ]-∞;+∞[
    1/x
    -1/x²
    ]-∞;0[U]0;+∞[
    √x
    1/(2√x)
    ]0;+∞[
    cos x
    -sin x
    ]-∞;+∞[
    sin x
    cos x
    ]-∞;+∞[

    III) Opérations sur les dérivées

    1) Somme et produit

    Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I de |R  et k un réel, alors:

    - La fonction u+v est dérivable sur I et pour tout réel x de I: (u+v)'(x)= u'(x)+v'(x)

    - La fonction uv est dérivable sur I et pour tout réel x de I : (uv)'(x)= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

    - La fonction ku est dérivable sur I et pour tout réel x de I : (ku)'(x)= ku'(x)

    Remarques: Toute fonction polynôme est dérivable sur |R .


    2) Inverse et quotient

    - Si v est une fonction dérivable sur I telle que v ne s'annule pas sur I, alors la fonction 1/v est dérivable sur I et pour tout réel x de I: (1/v)'(x)= -[v'(x)] / [(v(x))²]

    - Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I telle que v ne s'annule pas sur I, alors la fonction u/v est dérivable sur I et pour tout x de I: (u/v)'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)] / [(v(x))²]





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    Soit la tangente T au point A d'abscisse a de la courbe C d'une fonction f. Sachant que le coefficient directeur de T est 42, le nombre dérivé de f en a est égal à

    Soit T la tangente en A(5; 40) de la courbe C d'équation y=8x. Quelle est l'équation de la tangente à C en ce point?

    Si f(x)= x², f'(x)= 2x . Donc f '(7)=

    Quel est l'ensemble de dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=2x²+3

    Dérivez la fonction f définie par f(x)= x²+sin(x) . La dérivée est définie par f '(x)=

    L'ensemble de dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=(x+5)sin(x) est

    Dérivez la fonction f définie par f(x)= (x+5)sin(x) . La dérivée est définie par f '(x)=

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    L'ensemble de dérivabilité de la fonction f définie par f(x)=(3x+2)/(x+1) est

    Dérivez la fonction f définie par f(x)=(3x+2)/(x+1) . La dérivée est définie par f '(x)=









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