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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°88209 : Dérivation

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Dérivation


I) Dérivation

1) Taux de variation

Définition: On appelle taux de variation de f entre a et a+h le nombre [f(a+h)-f(a)] /h

2) Nombre dérivé en a

Définition:

On dit que f est dérivable en a si le taux de variations de f entre a et a+h admet une limite finie quand h tend vers 0

Le nombre dérivé d'une fonction f en a est la limite quand h tend vers 0 du taux de variation de f entre a et a+h

                  Ce nombre se note f '(a).


3) Tangente à une courbe représentative d'une fonction dérivable

a) Graphiquement

Définition: Soit f une fonction dérivable sur I et C sa courbe représentative.

                  La tangente à Cf au point d'abscisse a est la droite passant par le point A et de coefficient directeur f '(a)

b) Equation de la tangente               

Propriété: L'équation de la tangente à la courbe au point A de coordonnées A(a;f(a)) peut-être donnée sous la forme : y=f '(a)(x-a)+f(a)       

II) Fonction dérivée

1) Définition:

Soit une fonction définie sur une intervalle I et dérivable en toute valeur x de I

La fonction qui, à tout x, associe le nombre f '(x), est appelée fonction dérivée de f. On la note f'. Son ensemble de définition est noté Df'

2) Dérivation

f(x)
f '(x)
Df '
k (constante)
0
]-∞;+∞[
x
1
]-∞;+∞[
ax+b
a
]-∞;+∞[

2x
]-∞;+∞[

3x²
]-∞;+∞[
1/x
-1/x²
]-∞;0[U]0;+∞[
√x
1/(2√x)
]0;+∞[
cos x
-sin x
]-∞;+∞[
sin x
cos x
]-∞;+∞[

III) Opérations sur les dérivées

1) Somme et produit

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I de |R  et k un réel, alors:

- La fonction u+v est dérivable sur I et pour tout réel x de I: (u+v)'(x)= u'(x)+v'(x)

- La fonction uv est dérivable sur I et pour tout réel x de I : (uv)'(x)= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

- La fonction ku est dérivable sur I et pour tout réel x de I : (ku)'(x)= ku'(x)

Remarques: Toute fonction polynôme est dérivable sur |R .


2) Inverse et quotient

- Si v est une fonction dérivable sur I telle que v ne s'annule pas sur I, alors la fonction 1/v est dérivable sur I et pour tout réel x de I: (1/v)'(x)= -[v'(x)] / [(v(x))²]

- Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I telle que v ne s'annule pas sur I, alors la fonction u/v est dérivable sur I et pour tout x de I: (u/v)'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)] / [(v(x))²]





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Dérivez la fonction f définie par f(x)=(3x+2)/(x+1) . La dérivée est définie par f '(x)=









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