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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°20909: Conversions : Les échelles

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    Conversions : Les échelles


     Après la leçon sur les agrandissements ou les réductions de figures où nous avions déjà abordé la notion d'échelle (rapport de réduction ou d'agrandissement entre les deux figures), nous allons étudier l'échelle d'un plan ou d'une carte.

     

    Pour ce faire, voici différentes cartes qui concernent la même région et qui la représentent en plus ou moins détaillée : 

     

    Cette première carte est la représentation de toute la France et d'une partie de l'Europe .

    L'échelle de la carte( le rapport qui existe entre le dessin, la carte ou le plan et la réalité) est ici exprimée sur la légende par une longueur qui représente 200 km.

    On peut donc évaluer la distance à vol d'oiseau entre deux villes en reportant cette longueur sur la carte.

    Ainsi on s'aperçoit que la distance entre Paris et Le Mans est à peu près identique à cette longueur. On peut en déduire que la distance entre Paris et Le Mans est donc d'environ 200 km.

    Nous avons 2 cm qui représentent 200 km. Nous pouvons donc évaluer d'autres distances en considérant que 1 cm = 100 km.

    Ainsi la distance sur la carte entre Paris et Bruxelles est sensiblement égale à 3cm => distance Paris / Bruxelles ( à vol d'oiseau) ≈ 300 km.

    Pour Paris/ Nantes nous mesurons environ 4 cm  => distance Paris/Nantes≈ 400km.

    Pour obtenir  une distance réelle, il suffit donc de multiplier la mesure sur la carte (en cm)par la distance sur le terrain qui correspond à 1 cm.

     

    Nous aurions pu aussi exprimer cette échelle par une fraction.

    Ici 1 cm représente 100 km ou 100 000 m ou 10 000 000 cm.

    On peut dire que l'échelle de la carte est 1/10 000 000 car les dimensions sur la carte sont 10 000 000 de fois plus petites que sur le terrain.

    Pour pouvoir représenter toute cette partie de l'Europe on a donc divisé toutes les dimensions par 10 000 000.

    Lorsque nous nous trouvons dans cette situation, pour trouver la distance réelle, nous pouvons revenir à la phase précédente en 'expliquant l'échelle'( 1cm représente 100 km) ou en multipliant la longueur sur la carte par le dénominateur de l'échelle .

    Ainsi distance Paris/Strasbourg sur la carte ≈ 4,5 cm  =>distance Paris/Strasbourg en réalité ≈ 4,5 x 10 000 000≈ 45 000 000 cm≈ 450 000 m≈ 450 km.

     

    Ici nous avons un graphique qui représente 100 km

    3 cm représentent 100 km=> 1 cm représente environ 33,3 km ou 33 300 m ou 3 330 000 cm

    L'échelle de la carte est plus grande et nous pouvons représenter tout le Nord-Ouest de la France.

    Nous pourrions l'exprimer sous la fraction suivante: 1/ 3 330 000. (environ)

    Distance Paris/ Le Mans≈ 6cm sur la carte=> distance Paris/ Le Mans ( en réalité)≈ 200 km ( 3cm =100km) ou en en multipliant par le dénominateur de l'échelle : ≈ 6x 3 300 000 ≈ 19 980 000 cm ou 199 800 m ou 199,8 km . 

     

    Nous avons une carte encore plus détaillée. Le graphique( 2cm) représente 10 km.

    1 cm représente donc 5 km ou 5 000 m ou 500 000 cm

    Nous pourrions exprimer cette échelle sous la forme 1/ 500 000 . C'est-à-dire que les dimensions ont été divisées cette fois-ci par 500 000.

    Si nous prenons comme exemple la distance entre Villers-Cotterêts et Pierrefonds, nous mesurons 2,6 cm =>D≈ 2,6 x 5 km ≈ 13 km

    ou 2,6 x 500 000= 1 300 000 cm = 13 000 m = 13 km.( C'est une distance à vol d'oiseau< aux 15 km mentionnés sur la carte par la route).

     

     

    Ici, nous avons une carte encore plus détaillée.

    La longueur sur la légende (2cm) représente 2km.

    C'est l'échelle idéale car 1 cm représente donc 1 km. Il suffit de mesurer en cm et d'appliquer la même valeur en km.

    Pour la distance entre Pierrefonds et Villers- Cotterêts, nous mesurons 13 cm=> 13 km.

    On pourrait aussi exprimer cette échelle sous la forme: E= 1/100 000.

     

    C'est un extrait du plan de Villers- Cotterêts.

    L'échelle est encore plus grande: 2 cm représentent 200m, soit 1 cm représente 100 m

    E= 1/ 10 000 

    Il suffit de mesurer en cm et de multiplier par 100 pour avoir la distance en m. Si nous mesurons l'avenue Paul Doumer, nous trouvons 3 cm => 300 m en réalité.

     

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    1.Sur une carte à 1/5 000 000, un segment de 1cm représente cm en réalité ou m ou km.



    2. Sur une carte à 1/ 200 000, un segment de 1 cm représente cm en réalité ou m ou km



    3. Sur une carte à 1/100 000, un segment de 1cm représente cm sur le terrain ou m ou km



    4. Sur une carte à 1/25 000, un segment de 1 cm représente cm sur le terrain ou m



    5. Sur une carte à 1/10 000, un segment de 1 cm représente cm sur le terrain ou m.



    6.Sur une carte au 1/1000, 10 m sur le terrain seront représentés par cm.



    7. Sur un plan au 1/100, 50 m sur le terrain seront représentés par cm



    8. Sur un plan cadastral à 1/1000, un terrain rectangulaire a pour dimensions: L= 40 mm; l = 25 mm . Sa longueur réelle est donc m, sa largeur m.

    Son aire est de m2 ou ares.



    9.Sur une carte à 1/ 1000 000, on a mesuré 3,5 cm pour la distance entre Calais et Douvres. La distance réelle entre ces deux villes est donc d'environ km.

    Si vous voulez poursuivre l'approfondissement de vos connaissances
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