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    Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°105908 : Congruences

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    Congruences


    DÉFINITION

    ------Soient a et b deux entiers relatifs et m un entier naturel non nul. Soit Z l'ensemble des entiers relatifs.

    On dit que a est congru à b modulo m et on note:   a≡b[m] si et seulement si a-b est multiple de m.

    Cela est équivalent à dire qu'il existe k dans Z tel que a=b+km

    ------On a la propriété suivante: si a≡b[m] et c≡d[m], alors  on a:

    i) a+c≡b+d[m]

    ii) ac≡bd[m].

    ------la congruence modulo m est une relation d'équivalence car, elle est

    --réflexive: a≡a[m]

    --symétrique:  a≡b[m] équivaut à b≡a[m]

    --transitive: Si  a≡b[m] et b≡c[m], alors a≡c[m]

    --L'ensemble quotient est noté Z/mZ.

    ------La classe d'un entier a noté cl(a), est l'ensemble des b appartenant à Z tels que b soit congru à a modulo m.

    cl(a) porte le nom de classe résiduelle modulo m.

    ------L'ensemble des classes résiduelles modulo m est Z/mZ. Ses éléments sont cl(0), cl(1),..., cl(m-1).

    a est un résidu de b modulo m.

    ------Quand on écrit x≡y [m] avec x et y positifs. Si y est strictement inférieur à m, y est le reste de la division euclidienne de x par m.

    CONSIGNE:    Dans la suite, l'écriture:  a cg b [m]    signifie que : a est congru à b modulo m





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    1. Parmi les congruences suivantes: 1)13 cg 4[18] 2) 13 cg 4[9] celle qui est vraie a pour numéro .
    2. La plus petite valeur positive de x telle que 137 cg x [25] est .
    3. Si x cg y[9], alors x cg y[3] / V (vrai) ou F (faux)? .
    4. Soit p un entier naturel. On a a^p - b^p multiple de a - b. O (oui) ou N (non)? .
    5. Peut-on affirmer que si a cg b[m], alors on a a^p cg b^p[m]? O (oui) ou N (non) ?
    6. On donne 128366 cg 4 [13]. Le reste de la division euclidienne de 128366^10 par 13 est .
    7. Le chiffre des unités du nombre 17^171717 est .
    8. Le plus petit entier positif x vérifiant simultanément :x cg 3 [7] et x cg 5 [9] est .
    9. Le plus grand résidu positif de 53 modulo 27 qui est inférieur à 1000 est .
    10. L'ensemble des classes résiduelles modulo 100 contient exactement éléments.








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