Calcul mental et forme canonique

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Calcul mental et forme canonique

Compléter chaque égalité de sorte que cette égalité soit vérifiée quelle que soit la valeur de x, comme dans l'exemple

Exemple: Compléter 2x² -18 x + 40 = 2 ( x - )² + ( )
procédé:
-> on met d'abord 2 en facteur: 2( x² -9x + 20 ) et on veut obtenir le développement d'un carré: (x-b)² = x²-2 bx +b²
-> on prend la moitié de 9 et on pense au développement: $(x- \frac{9}{2})^2 = x^2-9 x +\frac{81}{4}$
-> on voulait +20 à la place de +81/4 et $\frac{81}{4}=\frac{80}{4}+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$ donc il faut enlever 1/4

-> on obtient $\red 2x^2-18x+40= 2[(x-\frac{9}{2})^2-\frac{1}{4}]= 2(x-\frac{9}{2})^2-\frac{1}{2}$

2x² - 18x + 40= 2 (x- (?) )² + (?)
2x² - 18x + 40 = 2 (x² - 9x + 20)
2x² - 18x + 40 = 2 [ (x - 9/2)² + (-1/4) ]
2x² - 18x + 40 = 2 (x - 9/2)² - 1/2
La forme 2(x-9/2)² - 1/2 est appelé forme canonique de 2x² -18x + 40

COURS
Un trinôme de degré 2 de variable x, est une expression du type: ax² + bx + c avec a≠0
La forme canonique d'un tel trinôme est une forme dans laquelle la variable est écrite une seule fois
$\red a x^2+b x+c =a(x+ ....)^2+....$ où on trouve des nombres constants à la place des pointillés

♥ La forme canonique du trinôme permet de trouver facilement les coordonnées $(x_0;\;y_0)$ du sommet de la parabole associée puisque $\red a x^2+b x+c =a(x- x_0)^2+ y_0$

♥ La forme canonique du trinôme permet de trouver facilement les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 (a≠0), puisque $a x^2+b x+c =0 \Leftrightarrow a(x-x_0)^2+y_0=0$
$a x^2+b x+c =0 \Leftrightarrow (x-x_0)^2=\frac{-y_0}{a}$
On peut conclure:
$\red Si\;\frac{-y_0}{a}>0,\; l'equation \;admet\; deux\; solutions \;distinctes \;dans\; \mathbb R$
$\red Si\;\frac{-y_0}{a}=0, \;l'equation\; admet\; une\; seule\; solution\; dans\;\mathbb R$
$\red Si\;\frac{-y_0}{a}<0,\; l'equation \;n'admet\; pas\; de\; solutions \;dans\; \mathbb R$

Intermédiaire
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Si nécessaire, pour insérer facilement des caractères accentués et symboles mathématiques:

x²-6x+7 = (x- ) ² +()
x²-4x+8 = (x- )² +()
x²+6x+8=(x+)² +()
x²-14x+40=(x-)² +()
4x²-24x+6 = 4(x-)² +()

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