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Bilan de connaissances en Géométrie

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1) Thalès

Observez bien la figure ci-dessous et répondez aux questions :

a) Calculer GE.
On peut utiliser : la trigonométriele théorème de Thalèsle théorème de Pythagore

Pourquoi ? C,F,G et C,D,E sont alignés et (FD)//(GE)A,C,D et B,C,D sont alignés et (FD)//(AB)CDF est rectangle

L'égalité qui permet de calculer GE est : CF/FG=FD/GECF/CG=FD/GECD/CE=FD/GECD/DE=FD/GE
On en déduit que GE=54,51,5

b) Calculer CD :
Pour cela on peut utiliser le théorème de Thalès dans les triangles CFD et CGECFD et ABCABC et CGE

On obtient : CD/CB=CF/CACD/CA=CF/CBCD/CF=CB/CA

On déduit que CD = 7,54,83,33

c) (IJ) et (AB) sont-elles parallèles ? nonon ne peut pas le savoiroui

Pourquoi ? on ne connaît pas IJ ni AB2,5/6 n'est pas égal à 2/5C,I,B et C,J,A sont alignés dans le même ordre


2) Trigonométrie

Le triangle ci-dessous est rectangle en B.

On peut écrire : cos B=3/5sin C=3/5tan C=5/3tan C=3/5

Pour calculer une valeur approchée de l'angle C avec la calculatrice, on tape :
tan(3/5)=2nd tan3/5=sin(3/5)=2nd tan(3/5)=

Quelle relation existe entre tan, sin et cos d'un angle aigu a ? tan a = cos a + sin atan a = sin a/cos atan a = cos a/sin a


3) Vecteurs

('vecAB' désigne le vecteur d'origine A et d'extrémité B)

a) Si vecAB = vecCD alors A,B,C,D sont alignésA=B et C=DABDC est un parallélogrammeABCD est un parallélogramme
b) Si vecAB = vecBC alors A et C sont confondusABC est un triangle isocèleB est le milieu de [AC]
c) Pour tous points L, M, N : vecLM + vecNL = vecMNvecNMvecLN0
d)
Si on ajoute le vecteur n°1 et le vecteur n°2 on obtient le vecteur n° 756
Si on ajoute le vecteur n°3 et le vecteur n°4 on obtient le vecteur n° 8910


4) Calculs dans un repère

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-1 ; 1) et B(3 ; -2).
a) Quelles sont les coordonnées de I, milieu de [AB] ? (1 ; - 0,5)(2 ; -1,5)(2 ; - 1)

b) Quelles sont les coordonnées du vecteur vecAB ? (-4 ; -3)(-3 ; 4)(4 ; -3)(2 ; -1)

c) Calculer la distance AB : 2557


5) Angles et rotations

a)
ABCDEF est un hexagone régulier qu'on a pavé avec des losanges tous superposables.
- Quelle est l'image du motif 1 par la rotation de centre G, d'angle 120° dans le sens des aiguilles d'une montre ? Le motif 3Le motif 2Le motif 8Le motif 5
- Quelle est l'image du motif 5 par la rotation de centre O, d'angle 120° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ? Le motif 1Le motif 2Le motif 3Le motif 4Le motif 6
b)

ABCDE est un pentagone régulier de centre O.
- Combien mesure l'angle AOB ? 70°72°66°60°
- Combien mesure l'angle ACB ? 36°30°33°38°


6) Espace, pyramides et cônes

a) Sections de solides


Si on coupe un cube selon un plan parallèle à une arête (voir exemple sur le dessin) on obtient toujours un rectangleun carréun parallélogramme
- ici le côté du cube mesure 5 cm. Quelle est la longueur AD' (arrondie au cm) ? 6587 cm
- combien mesure l'angle DAD' ? 45°30°60°
b) Sphère


- Cette sphère a pour rayon 6 cm. Quel est son volume (arrondi au cm³) ?
151216905 cm³
- On la coupe par un plan. La section est un cercle de centre H tel que OH = 4.
Quel est le rayon de ce cercle (arrondi au dixième) ? 4,55,04,8 cm
c) Pyramide

La pyramide ABCD a pour base un triangle rectangle.
- Calculer l'aire de sa base : 12106
-Calculer son volume : 481680


On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base, tel que DA'=4.
On obtient ainsi la petite pyramide A'B'C'D.
-Quel est le rapport de réduction des longueurs ? 842
-Pour avoir l'aire de la petite base A'B'C', il faut diviser l'aire de ABC par 428
-Donc l'aire de la base A'B'C' est 1,536
-Pour obtenir le volume de la petite pyramide, on peut diviser le volume de la grande pyramide par 284
-Donc le volume de A'B'C'D est 6428
d) Cône de révolution

- L'aire de la base de ce cône de révolution est (arrondie au dixième) 2531,450,3
- Son volume est (arrondi au dixième) 117,3549,8351,9